Rozwiąż równania.- Zadanie 1.145: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Zał:

$lo g_{3} x > 0$

$x > 0$

Aby uniknąć rozwiązywania nierówności logarytmowej posłużymy się metodą analizy starożytnych.

$lo g_{4} (lo g_{3} x) = 0$

$4^{0} = lo g_{3} x$

$1 = lo g_{3} x$

$3^{1} = x$

$3 = x$

Sprawdzamy, czy 3 jest rozwiązaniem tego równania.

$L = lo g_{4} (lo g_{3} 3) = lo g_{4} 1 = 0$

Zatem 3 jest rozwiązaniem tego równania.

Zał:

$lo g_{4} x > 0$

$x > 0$

Aby uniknąć rozwiązywania nierówności logarytmowej posłużymy się metodą analizy starożytnych.

$lo g_{2} (lo g_{4} x) = 1$

$2^{1} = lo g_{4} x$

$2 = lo g_{4} x$

$4^{2} = x$

$16 = x$

Sprawdzamy, czy 16 jest rozwiązaniem tego równania.

$L = lo g_{2} (lo g_{4} 16) = lo g_{2} 2 = 1$

Zatem 16 jest rozwiązaniem tego równania.

Zał:

$3 + 2 lo g (1 + x) > 0$

$1 + x > 0 ∣ - 1$

$x > - 1$

Aby uniknąć rozwiązywania nierówności logarytmowej posłużymy się metodą analizy starożytnych.

$lo g [3 + 2 lo g (1 + x)] = 0$

$10^{0} = 3 + 2 lo g (1 + x)$

$1 = 3 + 2 lo g (1 + x) ∣ - 3$

$- 2 = 2 lo g (1 + x) ∣ : 2$

$- 1 = lo g (1 + x)$

$10^{- 1} = 1 + x$

$\frac{1}{10} = 1 + x ∣ - 1$

$- \frac{9}{10} = x$

Sprawdzamy, czy $- \frac{9}{10}$ jest rozwiązaniem tego równania.

$L = lo g [3 + 2 lo g (1 - \frac{9}{10})] = lo g [3 + 2 lo g \frac{1}{10}] =$

$= lo g [3 + 2 \cdot (- 1)] = lo g (3 - 2) = lo g 1 = 0$

Zatem $- \frac{9}{10}$ jest rozwiązaniem tego równania.

Zał:

$1 - lo g_{3} (x + 4) > 0$

$x + 4 > 0 ∣ - 4$

$x > - 4$

Aby uniknąć rozwiązywania nierówności logarytmowej posłużymy się metodą analizy starożytnych.

$lo g_{2} [1 - lo g_{3} (x + 4)] = 1$

$2^{1} = 1 - lo g_{3} (x + 4)$

$2 = 1 - lo g_{3} (x + 4) ∣ - 1$

$1 = - lo g_{3} (x + 4)$

$1 = lo g_{3} (x + 4)^{- 1}$

$1 = lo g_{3} \frac{1}{x + 4}$

$3^{1} = \frac{1}{x + 4}$

$3 = \frac{1}{x + 4} ∣ \cdot (x + 4)$

$3 x + 12 = 1 ∣ - 12$

$3 x = - 11 ∣ : 3$

$x = - \frac{11}{3}$

$x = - 3 \frac{2}{3}$

Sprawdzamy, czy $- \frac{11}{3}$ jest rozwiązaniem tego równania.

$L = lo g_{2} [1 - lo g_{3} (- \frac{11}{3} + 4)] = lo g_{2} [1 - lo g_{3} \frac{1}{3}] = lo g_{2} [1 - (- 1)] = lo g_{2} 2 = 1$

Zatem $- \frac{11}{3}$ jest rozwiązaniem tego równania.

Zał:

$3 + lo g_{4} (lo g_{2} x + 10) > 0$

$lo g_{2} x + 10 > 0$

Aby uniknąć rozwiązywania nierówności logarytmowej posłużymy się metodą analizy starożytnych.

$x > 0$

$lo g_{5} [3 + lo g_{4} (lo g_{2} x + 10)] = 1$

$5^{1} = 3 + lo g_{4} (lo g_{2} x + 10)$

$5 = 3 + lo g_{4} (lo g_{2} x + 10) ∣ - 3$

$2 = lo g_{4} (lo g_{2} x + 10)]$

$4^{2} = lo g_{2} x + 10$

$16 = lo g_{2} x + 10 ∣ - 10$

$6 = lo g_{2} x$

$2^{6} = x$

$64 = x$

Sprawdzamy, czy $64$ jest rozwiązaniem tego równania.

$L = lo g_{5} [3 + lo g_{4} (lo g_{2} 64 + 10)] = lo g_{5} [3 + lo g_{4} (6 + 10)] =$

$= lo g_{5} [3 + lo g_{4} 16] = lo g_{5} [3 + 2] = lo g_{5} 5 = 1$

Zatem $64$ jest rozwiązaniem tego równania.

Zał:

$1 + lo g_{3} [1 + lo g_{2} (x + 3)]} > 0$

$1 + lo g_{2} (x + 3) > 0$

$x + 3 > 0$

$x > - 3$

Aby uniknąć rozwiązywania nierówności logarytmowej posłużymy się metodą analizy starożytnych.

$lo g_{4} {1 + lo g_{3} [1 + lo g_{2} (x + 3)]} = \frac{1}{2}$

$4^{\frac{1}{2}} = 1 + lo g_{3} [1 + lo g_{2} (x + 3)]$

$2 = 1 + lo g_{3} [1 + lo g_{2} (x + 3)] ∣ - 1$

$1 = lo g_{3} [1 + lo g_{2} (x + 3)]$

$3^{1} = 1 + lo g_{2} (x + 3)$

$3 = 1 + lo g_{2} (x + 3) ∣ - 1$

$2 = lo g_{2} (x + 3)$

$2^{2} = x + 3$

$4 = x + 3 ∣ - 3$

$1 = x$

Sprawdzamy, czy $1$ jest rozwiązaniem tego równania.

$L = lo g_{4} {1 + lo g_{3} [1 + lo g_{2} (1 + 3)]} = lo g_{4} {1 + lo g_{3} [1 + lo g_{2} 4]} = lo g_{4} {1 + lo g_{3} [1 + 2]} =$

$= lo g_{4} {1 + lo g_{3} 3} = lo g_{4} {1 + 1} = lo g_{4} 2 = \frac{1}{2}$

Zatem $1$ jest rozwiązaniem tego równania.

Zał:

$x^{2} + 9 > 0$

$x \in R$

$7 + lo g_{5} (x^{2} + 9) > 0$

Aby uniknąć rozwiązywania nierówności logarytmowej posłużymy się metodą analizy starożytnych.

$lo g_{3} [7 + lo g_{5} (x^{2} + 9)] = 2$

$lo g_{3} [7 + lo g_{5} (x^{2} + 9)] = lo g_{3} 9$

$7 + lo g_{5} (x^{2} + 9) = 9 ∣ - 7$

$lo g_{5} (x^{2} + 9) = 2$

$lo g_{5} (x^{2} + 9) = lo g_{5} 25$

$x^{2} + 9 = 25 ∣ - 9$

$x^{2} = 16$

$x = 4 \lor x = - 4$

Sprawdzamy, czy $4$ jest rozwiązaniem tego równania.

$L = lo g_{3} [7 + lo g_{5} (4^{2} + 9)] = lo g_{3} [7 + lo g_{5} 25] = lo g_{3} [7 + 2] = lo g_{3} 9 = 2$

Zatem $4$ jest rozwiązaniem tego równania.

Sprawdzamy, czy $- 4$ jest rozwiązaniem tego równania.

$L = lo g_{3} [7 + lo g_{5} ((- 4)^{2} + 9)] = lo g_{3} [7 + lo g_{5} 25] = lo g_{3} [7 + 2] = lo g_{3} 9 = 2$

Zatem $- 4$ jest rozwiązaniem tego równania.

$\frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} > 0$

$x (x - 2) (x - 3) > 0$

$x \in (0, 2) \cup (3, + \infty)$

$lo g_{8} \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} > 0$

Aby uniknąć rozwiązywania nierówności logarytmowej posłużymy się metodą analizy starożytnych.

$lo g_{\frac{1}{2}} lo g_{8} \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} = 0$

$lo g_{\frac{1}{2}} lo g_{8} \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} = lo g_{\frac{1}{2}} 1$

$lo g_{8} \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} = 1$

$lo g_{8} \frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} = lo g_{8} 8$

$\frac{x ^{2} - 2 x}{x - 3} = 8 ∣ \cdot (x - 3)$

$x^{2} - 2 x = 8 (x - 3) ∣ - 8 (x - 3)$

$x^{2} - 2 x - 8 (x - 3) = 0$

$x^{2} - 2 x - 8 x + 24 = 0$

$x^{2} - 10 x + 24 = 0$

$Δ = (- 10)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4$

$x_{1} = \frac{10 - 2}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_{2} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Sprawdzamy, czy $4$ jest rozwiązaniem tego równania.

$L = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} lo g _{8} ( 4 ^{2} - 2 \cdot 4 )}{4 - 3} = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} lo g _{8} ( 16 - 8 )}{1} = lo g_{\frac{1}{2}} lo g_{8} 8 = lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0$

Zatem $4$ jest rozwiązaniem tego równania.

Sprawdzamy, czy $6$ jest rozwiązaniem tego równania.

$L = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} lo g _{8} ( 6 ^{2} - 2 \cdot 6 )}{6 - 3} = \frac{lo g _{\frac{1}{2}} lo g _{8} ( 36 - 12 )}{3} = lo g_{\frac{1}{2}} lo g_{8} 8 = lo g_{\frac{1}{2}} 1 = 0$

Zatem $6$ jest rozwiązaniem tego równania.

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.