Wykaż, że:- Zadanie 1.121: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Przypomnijmy:

Funkcja f jest parzysta, jeśli dla każdego x należącego do dziedziny funkcji, -x również należy do dziedziny oraz spełniony jest warunek: f(x)=f(-x).

Funkcja jest nieparzysta, jeśli dla każdego x należącego do dziedziny funkcji, -x również należy do dziedziny oraz spełniony jest warunek: f(-x)=-f(x).

$f (x) = lo g_{2} (1 - x) - lo g_{2} (x + 1)$

$f (- x) = lo g_{2} (1 - (- x)) - lo g_{2} (- x + 1) = lo g_{2} (1 + x) - lo g_{2} (1 - x)$

Zał:

$1 + x > 0 \land 1 - x > 0$

$x > - 1 \land 1 > x$

$x \in (- 1, 1)$

$f (- x) = lo g_{2} \frac{1 + x}{1 - x}$

$- f (x) = - (lo g_{2} (1 - x) - lo g_{2} (x + 1)) = - lo g_{2} (1 - x) + lo g_{2} (x + 1) =$

$= lo g_{2} (x + 1) - lo g_{2} (1 - x) = lo g_{2} \frac{x + 1}{1 - x}$

Zał:

$1 - x > 0 \land x + 1 > 0$

$1 > x \land x > - 1$

$x \in (- 1, 1)$

Otrzymaliśmy:

$D_{f (- x)} = D_{- f (x)} \land f (- x) = - f (x)$

Zatem pokazaliśmy, że funkcja f(x) jest nieparzysta.

$f (x) = x^{3} lo g \frac{2 - x}{2 + x}$

Zał:

$\frac{2 - x}{2 + x} > 0$

$(2 - x) (2 + x) > 0$

$- (x - 2) (x + 2) > 0$

$x \in (- 2, 2)$

$f (- x) = (- x)^{3} lo g \frac{2 - ( - x )}{2 - x} = - x^{3} lo g \frac{2 + x}{2 - x} = x^{3} lo g (\frac{2 + x}{2 - x})^{- 1} = x^{3} lo g \frac{2 - x}{2 + x}$

Zał:

$\frac{2 + x}{2 - x} > 0$

$(2 + x) (2 - x) > 0$

$(x + 2) \cdot (- 1) (x - 2) > 0$

$(x + 2) (x - 2) < 0$

$x \in (- 2, 2)$

Otrzymaliśmy:

$D_{f (x)} = D_{f (- x)} \land f (x) = f (- x)$

Zatem pokazaliśmy, że funkcja f(x) jest parzysta.

$f (x) = lo g_{3} cos 2 x$

Zał:

$cos 2 x > 0$

Narysujmy wykres funkcji y=cos2x, a następnie odczytajmy rozwiązanie nierówności.

$x \in (- \frac{π}{4} + k π, \frac{π}{4} + k π), k \in C$

$f (- x) = lo g_{3} cos (- 2 x) = lo g_{3} cos 2 x$

$cos (- 2 x) > 0$

$cos (2 x) > 0$

$x \in (- \frac{π}{4} + k π, \frac{π}{4} + k π), k \in C$

Otrzymaliśmy:

$D_{f (x)} = D_{f (- x)} \land f (x) = f (- x)$

Zatem pokazaliśmy, że funkcja f(x) jest parzysta.

$f (x) = lo g (x + 1 + x^{2})$

$f (- x) = lo g (- x + 1 + (- x)^{2}) = lo g (- x + 1 + x^{2})$

Zał:

$- x + 1 + x^{2} > 0$

$x \in R$

$- f (x) = - lo g (x + 1 + x^{2}) = lo g (x + 1 + x^{2})^{- 1} = lo g \frac{1}{1 + x ^{2} + x} =$

$= lo g \frac{1}{1 + x ^{2} + x} \cdot \frac{1 + x ^{2} - x}{1 + x ^{2} - x} = lo g \frac{1 + x ^{2} - x}{1 + x ^{2} - x ^{2}} = lo g (1 + x^{2} - x)$

Zał:

$x + 1 + x^{2} > 0 \land - x + 1 + x^{2} > 0$

$x \in R$

Otrzymaliśmy:

$D_{f (- x)} = D_{- f (x)} \land f (- x) = - f (x)$

Zatem pokazaliśmy, że funkcja f(x) jest nieparzysta.

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.