Wyznacz wartość parametru m ...- Zadanie 1.81: Matematyka 3. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Dla kolejnych początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego spełniony jest warunek:

$n \in N_{+} - {1} ⋀ x_{n} = \frac{x _{n - 1} + x _{n + 1}}{2}$

Zatem otrzymujemy:

$2^{2 m} - 47 = \frac{2 ^{m} + 2 ^{m} + 18}{2}$

$2^{2 m} - 47 = \frac{2 \cdot 2 ^{m} + 18}{2}$

$2^{2 m} - 47 = 2^{m} + 9 ∣ - 2^{m} - 9$

$2^{2 m} - 2^{m} - 56 = 0$

Podstawiając $2^{m} = t, t > 0$ otrzymujemy:

$t^{2} - t - 56 = 0$

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 56) = 1 + 224 = 225$

$t_{1} = \frac{1 - 15}{2} = \frac{- 14}{2} = - 7 sprzeczno \overset{s}{ˊ} \overset{c}{ˊ}$

$t_{2} = \frac{1 + 15}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Zatem otrzymujemy:

$2^{m} = 8$

$2^{m} = 2^{3}$

$m = 3$

Podajmy wzór ogólny tego ciągu dla m=3.

$a_{1} = 2^{3} = 8$

$a_{2} = 2^{2 \cdot 3} - 47 = 2^{6} - 47 = 64 - 47 = 17$

$a_{3} = 2^{3} + 18 = 8 + 18 = 26$

Łatwo zauważyć, że różnica wynosi 9, zatem:

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot r$

$a_{n} = 8 + (n - 1) \cdot 9$

$a_{n} = 8 + 9 n - 9$

$a_{n} = 9 n - 1$

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.