Przypadek I.

Środek kuli leży wewnątrz stożka.

Rysunek pomocniczy:

Z funkcji trygonometrycznych mamy:

$\frac{r}{d}=\cos \alpha$  

$r=d\cos \alpha$  

oraz

$\frac{h}{d}=\sin \alpha$  

$h=d\sin \alpha$  

 

Zauważmy, że promień kuli opisanej na tym stożku jest równy promieniowi koła opisanego na trójkącie o bokach d,d,2r.

Obliczmy pole tego trójkąta.

$P=\frac{1}{2}\cdot 2r\cdot h=rh=d\cos \alpha \cdot d\sin \alpha =d^2\sin \alpha \cos \alpha$  

Korzystając ze wzoru na pole trójkąta:  $P=\frac{abc}{4R}$    otrzymujemy:

$P=\frac{2r\cdot d\cdot d}{4R}$  

$d^2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2r{d}^2}{4R}\mid \cdot 4R$  

$4R\cdot d^2\sin \alpha \cos \alpha =2r{d}^2\mid :2d^2$  

$2R\sin \alpha \cos \alpha =r$  

 

Zatem:

$r=d\cos \alpha$  

$2R\sin \alpha \cos \alpha =d\cos \alpha \mid :\cos \alpha$  

$2R\sin \alpha =d$  

oraz

$h=d\sin \alpha$  

$h=2R\sin \alpha \cdot \sin \alpha$  

$h=2R{\sin }^2\alpha$  

 

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego stożka.

$P_c=\pi r\left(r+d\right)$  

$P_c=\pi \cdot 2R\sin \alpha \cos \alpha \left(2R\sin \alpha \cos \alpha +2R\sin \alpha \right)$  

$P_c=\pi \cdot 2R\sin \alpha \cos \alpha \cdot 2R\sin \alpha \left(\cos \alpha +1\right)$  

$P_c=\pi \cdot 4R^2{\sin }^2\alpha \cos \alpha \left(\cos \alpha +1\right)$  

Obliczmy objętość tego stożka.

$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$  

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot {\left(2R\sin \alpha \cos \alpha \right)}^2\cdot 2R{\sin }^2\alpha$  

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 4R^2{\sin }^2\alpha {\cos }^2\alpha \cdot 2R{\sin }^2\alpha$  

$V=\pi \cdot \frac{8}{3}{R}^3{\sin }^4\alpha {\cos }^2\alpha$  

---

Przypadek II.

Środek kuli leży na zewnątrz stożka.

Rysunek pomocniczy:

Zauważmy, że promień kuli opisanej na tym stożku jest równy promieniowi koła opisanego na trójkącie o bokach d,d,2R.

Zatem otrzymamy odpowiedź jak w przypadku I.

---

Przypadek III.

Środek kuli jest środkiem podstawy stożka.

Rysunek pomocniczy:

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego stożka.

$P_c=\pi R\left(R+d\right)$  

$P_c=\pi R\left(R+R\sqrt{2}\right)$  

$P_c=\pi \cdot R\cdot R\left(1+\sqrt{2}\right)$  

$P_c=\pi R^2\left(1+\sqrt{2}\right)$  

Obliczmy objętość tego stożka.

$V=\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R$  

$V=\frac{1}{3}\pi R^3$