Oznaczmy:

a,b,c - krawędzie tego prostopadłościanu

Z treści zadania wiemy, że:

$\frac{a}{b}=3\mid \cdot b$  

$a=3b$  

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy d - długość przekątnej podstawy tego prostopadłościanu

${\left(3b\right)}^2+b^2=d^2$  

$9b^2+b^2=d^2$  

$10b^2=d^2$  

$\sqrt{10}b=d$  

 

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z podobieństwa trójkątów otrzymujemy:

$\frac{8-c}{\frac{1}{2}d}=\frac{8}{6}$  

$\left(8-c\right)\cdot 6=8\cdot \frac{1}{2}d$  

$48-6c=4\sqrt{10}b\mid -4\sqrt{10}b+6c$  

$48-4\sqrt{10}b=6c\mid :6$  

$8-\frac{2\sqrt{10}b}{3}=c$  

 

Obliczmy objętość tego prostopadłościanu.

$V=a\cdot b\cdot c$  

W zależności od wartości b otrzymujemy:

$V=3b\cdot b\cdot \left(8-\frac{2\sqrt{10}b}{3}\right)$  

$V=24b^2-2\sqrt{10}{b}^3$  

Aby wyznaczyć wymiary prostopadłościanu o największym polu wyznaczmy pochodną tej funkcji, a następnie jej ekstremum.

$V{}^{\prime }\left(b\right)=48b-2\sqrt{10}\cdot 3b^2$  

Sprawdźmy kiedy V'(b)=0.

$48b-6\sqrt{10}{b}^2=0\mid :6b$  

$8-\sqrt{10}b=0\mid +\sqrt{10}b$  

$8=\sqrt{10}b\mid :\sqrt{10}$  

$\frac{8}{\sqrt{10}}=b$  

$\frac{8\sqrt{10}}{10}=b$  

$\frac{4\sqrt{10}}{5}\left[\text{cm}\right]=b$  

 

Zatem otrzymujemy:

$a=3b$  

$a=3\cdot \frac{4\sqrt{10}}{5}$  

$a=\frac{12\sqrt{10}}{5}\left[\text{cm}\right]$  

oraz

$c=8-\frac{2\sqrt{10}b}{3}$  

$c=8-\frac{2\sqrt{10}\cdot \frac{4\sqrt{10}}{5}}{3}$  

$c=8-\frac{\frac{8\cdot 10}{5}}{3}$  

$c=8-\frac{16}{3}$  

$c=\frac{24}{3}-\frac{16}{3}$  

$c=\frac{8}{3}$  

$c=2\frac{2}{3}\left[\text{cm}\right]$