Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że pojemność tej puszki wynosi 128π cm³, zatem:    

$V=128\pi \left[{\text{cm}}^3\right]$  

$\pi r^{2}H=128\pi \mid :\pi$  

$r^{2}H=128\mid :r^2$  

$H=\frac{128}{r^2}$  

 

Obliczmy pole powierzchni całkowitej tej puszki.

$P=2\pi r\left(r+H\right)$  

W zależności od wartości r otrzymujemy: 

$P\left(r\right)=2\pi r\left(r+\frac{128}{r^2}\right)$  

$P\left(r\right)=2\pi r^2+\frac{256\pi }{r}$  

Aby obliczyć wartość r, dla której powyższa funkcja przyjmuje wartość najmniejszą wyznaczmy pochodną funkcji P(r), a następnie jej ekstremum.

$P{}^{\prime }\left(r\right)=2\pi \cdot 2r+\frac{\left(256\pi \right){}^{\prime }\cdot r-256\pi \cdot r{}^{\prime }}{r^2}$  

$P{}^{\prime }\left(r\right)=4\pi r-\frac{256\pi }{r^2}$  

Sprawdźmy kiedy P'(r)=0.

$4\pi r-\frac{256\pi }{r^2}=0\mid \cdot r^2$  

$4\pi r^3-256\pi =0\mid :4\pi$  

$r^3=64$  

$r=4\left[\text{cm}\right]$  

Obliczmy wysokość tego walca.

$H=\frac{128}{r^2}=\frac{128}{16}=8\left[\text{cm}\right]$  

 

Odp. Promień tej puszki powinien wynosić 4 cm, a wysokość tej puszki - 8 cm.