a) Rysunek pomocniczy:

   

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{2a}{a}$

$\mathrm{tg}\alpha =2$  

---

b) Rysunek pomocniczy:

Obliczmy długość przekątnej ściany bocznej (oznaczmy jako b).

$a^2+{\left(2a\right)}^2=b^2$  

$a^2+4a^2=b^2$  

$5a^2=b^2$  

$\sqrt{5}a=b$  

Zauważmy, że trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym.

$\cos \alpha =\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$  

Korzystając z jedynki trygonometrycznej:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

${\sin }^2\alpha +{\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +\frac{10}{100}=1\mid -\frac{1}{10}$  

${\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}$  

$\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}$  

$\sin \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}$  

---

c) Rysunek pomocniczy:

Obliczmy długość przekątnej podstawy (oznaczmy jako b).

$b=a\sqrt{2}$  

Obliczmy długość przekątnej graniastosłupa (oznaczmy jako d).

${\left(2a\right)}^2+{\left(a\sqrt{2}\right)}^2=d^2$  

$4a^2+2a^2=d^2$  

$6a^2=d^2$  

$\sqrt{6}a=d$  

$\cos \alpha =\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}}{6}=\frac{\sqrt{4\cdot 3}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$