Przypomnijmy:

Modą (lub dominantą) zbioru danych statystycznych nazywamy tę wartość cechy statystycznej, która w zbiorze tym występuje najczęściej.

Oznaczamy M_o.

 

Medianą nazywamy liczbą (x₁,x₂,...,x_n jest niemalejącym ciągiem wartości badanej):

$x_{\frac{n+1}{2}}$   jeśli n jest liczbą nieparzystą lub

$\frac{x_{\frac{n}{2}}+x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$    jeśli n jest liczbą parzystą.

Oznaczamy M_e.   

---

a) Uporządkujmy tej zestaw liczb rosnąco, otrzymujemy:

1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,5,5,5,5

$M_o=3$  

$M_e=\frac{x_{\frac{22}{2}}+x_{\frac{22}{2}+1}}{2}=\frac{x_{11}+x_{12}}{2}=\frac{3+3}{2}=\frac{6}{2}=3$  

---

b)

Najczęściej występuje wartość 3 (aż 7 razy), zatem  $M_o=3$  

Zauważmy, że liczba danych statystycznych jest równa 7+2+4+6=19.

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$	$x_8$	itd.
$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$3$	$5$

Ponieważ liczba 19 jest nieparzysta, to mediana jest wartością cechy, która ma środkowy element.

Należy pamiętać, że musi to być uporządkowany zbiór danych, czyli: 3,3,3,3,3,3,3,5,5,5,5,9,9,9,9,9,9,12,12

$M_e=\frac{x_{19+1}}{2}=x_{10}=5$  

---

c)

Najczęściej występuje wartość 7 oraz 9, zatem są dwie mody.

$M_o=7\wedge M_o=9$   

Zauważmy, że liczba danych statystycznych jest równa 4+5+5+4=18.

$M_e=\frac{x_{\frac{18}{2}}+x_{\frac{18}{2}+1}}{2}=\frac{x_9+x_{10}}{2}=\frac{7+9}{2}=\frac{16}{2}=8$  

---

d)

Najczęściej występuje wartość 4, zatem jest to moda.

$M_o=4$   

Zauważmy, że liczba danych statystycznych jest równa 4+10+5=19.

$M_e=x_{\frac{19+1}{2}}=x_{\frac{20}{2}}=x_{10}=4$  

---

e)

Najczęściej (37,5%) występuje wartość 7.

$M_o=7$  

Zauważmy, że dla liczebności równej 100 mediana ma wartość (dla innej liczebności mediana się nie zmienia):

$M_e=\frac{x_{50}+x_{51}}{2}=\frac{3+5}{2}=\frac{8}{2}=4$  

---

f)

Najczęściej (0,5) występuje wartość 1.

Zauważmy, że dla liczebności równej 10 (dla innej liczebności mediana się nie zmienia) otrzymujemy zestaw liczb:

0,1,1,1,1,1,2,2,2,3.

$M_e=\frac{1+1}{2}=\frac{2}{2}=1$