Przypomnijmy:

Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie A,B⊂ Ω i P(B)>0, nazywamy liczbę

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$  

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a) Korzystamy ze wzoru:

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$  

$\frac{3}{4}=\frac{1}{4}+\frac{2}{3}-P\left(A\cap B\right)\mid -\frac{1}{4}$       

$\frac{2}{4}=\frac{2}{3}-P\left(A\cap B\right)$  

$\frac{1}{2}=\frac{2}{3}-P\left(A\cap B\right)\mid -\frac{1}{2}+P\left(A\cap B\right)$  

$P\left(A\cap B\right)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}$  

$P\left(A\cap B\right)=\frac{4}{6}-\frac{3}{6}$  

$P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{6}$  

Zatem otrzymujemy:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$  

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b) Zauważmy, że:

$P\left(A{}^{\prime }\cap B\right)=P\left(B-A\right)=P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$  

Zatem otrzymujemy:

$P\left(A{}^{\prime }\cap B\right)=P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$  

$\frac{1}{3}=\frac{3}{4}-P\left(A\cap B\right)\mid +P\left(A\cap B\right)-\frac{1}{3}$  

$P\left(A\cap B\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{3}$  

$P\left(A\cap B\right)=\frac{9}{12}-\frac{4}{12}$  

$P\left(A\cap B\right)=\frac{5}{12}$  

Zatem otrzymujemy:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{5}{12}}{\frac{3}{4}}=\frac{5}{{\sout{12}}^3}\cdot \frac{{\sout{4}}^1}{3}=\frac{5}{9}$  

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c) Zauważmy, że:

$P\left(A{}^{\prime }\cap B\right)=P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{1}{8}=P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\mid +P\left(A\cap B\right)-\frac{1}{8}$  

$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)-\frac{1}{8}$  

 

$P\left(B\mid A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$  

Zatem otrzymujemy:

$\frac{3}{8}=\frac{P\left(B\right)-\frac{1}{8}}{P\left(A\right)}$  

$\frac{3}{8}P\left(A\right)=P\left(B\right)-\frac{1}{8}$  

$\frac{3}{{\sout{8}}^2}\cdot \frac{{\sout{4}}^1}{9}=P\left(B\right)-\frac{1}{8}$  

$\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{9}=P\left(B\right)-\frac{1}{8}$  

$\frac{1}{6}=P\left(B\right)-\frac{1}{8}\mid +\frac{1}{8}$  

$\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=P\left(B\right)$  

$\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=P\left(B\right)$  

$\frac{7}{24}=P\left(B\right)$  

 

$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)-\frac{1}{8}=\frac{7}{24}-\frac{1}{8}=\frac{7}{24}-\frac{3}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$  

 

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{24}}=\frac{1}{{\sout{6}}^1}\cdot \frac{{\sout{24}}^4}{7}=\frac{4}{7}$  

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d) Zauważmy, że:

$P\left(A\cap B{}^{\prime }\right)=P\left(A-B\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)$  

Zatem otrzymujemy:

$P\left(A\cap B{}^{\prime }\right)=P\left(A\right)-P\left(A\cap B\right)$  

$\frac{1}{5}=P\left(A\right)-\frac{2}{5}\mid +\frac{2}{5}$  

$\frac{3}{5}=P\left(A\right)$  

 

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$  

$\frac{3}{4}=\frac{3}{5}+P\left(B\right)-\frac{2}{5}$  

$\frac{3}{4}=\frac{1}{5}+P\left(B\right)\mid -\frac{1}{5}$  

$\frac{3}{4}-\frac{1}{5}=P\left(B\right)$  

$\frac{15}{20}-\frac{4}{20}=P\left(B\right)$  

$\frac{11}{20}=P\left(B\right)$  

 

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$P\left(A\mid B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{11}{20}}=\frac{2}{{\sout{5}}^1}\cdot \frac{{\sout{20}}^4}{11}=\frac{8}{11}$