a) _ _ _ _ _ _ _

Na pierwszym miejscu możemy wybrać jedną z siedmiu liter, czyli 7 możliwości wyboru.

Na drugim miejscu możemy wybrać jedną z sześciu liter (ponieważ jedną literę już wybraliśmy), czyli 6 możliwości wyboru, itd.  

Ilość wszystkich możliwości:

$7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=7!=5040$  

---

b) _ _ _ _ _

Na pierwszym miejscu możemy wybrać jedną z pięciu liter, czyli 5 możliwości wyboru.

Na drugim miejscu możemy wybrać jedną z czterech liter (ponieważ jedną literę już wybraliśmy), czyli 4 możliwości wyboru, itd.

Dodatkowo należy zauważyć, że policzyliśmy wszystkie możliwości podwójnie, ponieważ są dwie litery T, które nie są rozróżnialne.

Zatem ilość wszystkich możliwości:

$\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2}=5\cdot 4\cdot 3=60$  

---

c) _ _ _ _ _

Na pierwszym miejscu możemy wybrać jedną z pięciu liter, czyli 5 możliwości wyboru.

Na drugim miejscu możemy wybrać jedną z czterech liter (ponieważ jedną literę już wybraliśmy), czyli 4 możliwości wyboru, itd.

Dodatkowo należy zauważyć, że policzyliśmy wszystkie możliwości 2٠3=6 razy za dużo, ponieważ są trzy litery A, które nie są rozróżnialne.

Zatem ilość wszystkich możliwości:

$\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{6}=\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2}{6}=5\cdot 4=20$  

---

d) _ _ _ _ _

Na pierwszym miejscu możemy wybrać jedną z pięciu liter, czyli 5 możliwości wyboru.

Na drugim miejscu możemy wybrać jedną z czterech liter (ponieważ jedną literę już wybraliśmy), czyli 4 możliwości wyboru, itd.

Dodatkowo należy zauważyć, że policzyliśmy wszystkie możliwości poczwórnie, ponieważ są dwie litery P, które nie są rozróżnialne i są dwie litery O, które również nie są rozróżnialne.

Zatem ilość wszystkich możliwości:

$\frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{2\cdot 2}=5\cdot 3\cdot 2=30$