Przypomnijmy wzór na styczną do wykresu funkcji f przechodzącą przez punkt (x₀, f(x₀)).

$y-f\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$  

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

---

Wyznaczmy styczną do paraboli  $f\left(x\right)=16x^2+\frac{1}{x}.$   

$f{}^{\prime }\left(x\right)=16\cdot 2x-\frac{1}{x^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=32x_0-\frac{1}{x_0^2}$  

$y=\left(32x_0-\frac{1}{x_0^2}\right)\left(x-x_0\right)+16x_0^2+\frac{1}{x_0}$  

Podstawiając współrzędne punktu (0,0) otrzymujemy:

$0=\left(32x_0-\frac{1}{x_0^2}\right)\cdot \left(-x_0\right)+16x_0^2+\frac{1}{x_0}$  

$0=-32x_0^2+\frac{1}{x_0}+16x_0^2+\frac{1}{x_0}$  

$0=\frac{2}{x_0}-16x_0^2\mid \cdot x_0$  

$0=2-16x_0^3\mid :2$  

$0=1-8x_0^3$  

$8x_0^3=1\mid :8$  

$x_0^3=\frac{1}{8}$    

$x_0=\frac{1}{2}$  

Wyznaczmy równanie tej stycznej.

$y=\left(32x_0-\frac{1}{x_0^2}\right)\left(x-x_0\right)+16x_0^2+\frac{1}{x_0}$  

$y=\left(32\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+16\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{\frac{1}{2}}$  

$y=\left(16-4\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+16\cdot \frac{1}{4}+2$  

$y=12\left(x-\frac{1}{2}\right)+6$  

$y=12x$   

 

Wyznaczmy punkty przecięcia paraboli  $y=3x^2+12x-12$   i prostej  $y=12x.$  

$3x^2+12x-12=12x\mid -12x$  

$3x^2-12=0\mid :3$  

$x^2-4=0$  

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0$  

$x=2\vee x=-2$  

 

Wyznaczmy współrzędne punktu A.

Dla x=2 otrzymujemy:

$y=3x^2+12x-12$  

$y=3\cdot 2^2+12\cdot 2-12$  

$y=12+24-12$  

$y=24$  

$A=\left(2,24\right)$  

 

Wyznaczmy współrzędne punktu B.

Dla x=-2 otrzymujemy:

$y=3x^2+12x-12$  

$y=3\cdot {\left(-2\right)}^2+12\cdot \left(-2\right)-12$  

$y=12-24-12$  

$y=-24$  

$B=\left(-2,-24\right)$  

 

Wyznaczmy środek szukanego okręgu, czyli środek odcinka AB.

$S=\left(\frac{2-2}{2},\frac{24-24}{2}\right)$  

$S=\left(0,0\right)$  

Wyznaczmy długość promienia tego okręgu, czyli odległość odcinka AS.

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(0-2\right)}^2+{\left(0-24\right)}^2}=\sqrt{2^2+{24}^2}=\sqrt{4+576}=\sqrt{580}$  

Równanie szukanego okręgu:

$x^2+y^2=580$