Przypomnijmy wzór na styczną do wykresu funkcji f przechodzącą przez punkt (x₀, f(x₀)).

$y-f\left(x_0\right)=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$  

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

---

Wyznaczmy prostą l w postaci kierunkowej.

$6x-y+4=0$  

$y=6x+4$  

Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej l. 

$y=-\frac{1}{6}x+b$  

Zatem współczynnik kierunkowy szukanej stycznej wynosi  $a=-\frac{1}{6}.$  

 

Wyznaczmy pochodną funkcji f. 

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2-x\right){}^{\prime }\left(x+4\right)-\left(2-x\right)\left(x+4\right){}^{\prime }}{{\left(x+4\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-1\left(x+4\right)-\left(2-x\right)\cdot 1}{{\left(x+4\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-x-4-2+x}{{\left(x+4\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{-6}{{\left(x+4\right)}^2}$

$f{}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{-6}{{\left(x_0+4\right)}^2}$   

Zatem otrzymujemy: 

$\frac{-6}{{\left(x_0+4\right)}^2}=-\frac{1}{6}\mid :\left(-6\right)$  

$\frac{1}{{\left(x_0+4\right)}^2}=\frac{1}{36}$  

${\left(x_0+4\right)}^2=6^2$  

$\left|x_0+4\right|=6$  

$x_0+4=6\vee x_0+4=-6$  

$x_0=2\vee x_0=-10$  

 

Przypadek I.

$x_0=2$  

Wyznaczmy styczną do wykresu funkcji f przechodzącą przez punkt (2,y).

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=-\frac{1}{6}\left(x-2\right)+f\left(2\right)$  

$y=-\frac{1}{6}x+\frac{1}{3}+\frac{2-2}{2+4}$  

$y=-\frac{1}{6}x+\frac{1}{3}$  

Zatem otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-\frac{1}{6}\cdot 2+\frac{1}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}$  

$A=\left(2,0\right)$  

 

Przypadek II.

$x_0=-10$  

Wyznaczmy styczną do wykresu funkcji f przechodzącą przez punkt (-10,y).

$y=f{}^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$  

$y=-\frac{1}{6}\left(x+10\right)+f\left(-10\right)$  

$y=-\frac{1}{6}x-\frac{10}{6}+\frac{2+10}{-10+4}$  

$y=-\frac{1}{6}x-\frac{10}{6}+\frac{12}{-6}$  

$y=-\frac{1}{6}x-\frac{5}{3}-2$  

$y=-\frac{1}{6}x-3\frac{2}{3}$  

Zatem otrzymujemy:

$\{\begin{array}{l}x=-10\\ y=-\frac{1}{6}\cdot \left(-10\right)-3\frac{2}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-10\\ y=\frac{5}{3}-\frac{11}{3}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=-10\\ y=-2\end{array}$  

$A=\left(-10,-2\right)$