Sprawdzimy, czy wartości funkcji trygonometrycznych spełniają jedynkę trygonometryczną. Jeśli tak - kąt ostry 𝛼 istnieje, jeśli nie - nie istnieje.

---

$\text{a)}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{12}{13}\right)}^2+{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{144}{169}+\frac{25}{169}=\frac{169}{169}=1$  

Odp. Kąt ostry 𝛼 istnieje.

---

---

$\text{b)}$  Wyznaczamy sin𝛼:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\text{tg}\alpha$  

$\frac{\sin \alpha }{\frac{8}{17}}=\frac{8}{15}\mid \cdot \frac{8}{17}$  

$\sin \alpha =\frac{8}{15}\cdot \frac{8}{17}=\frac{64}{255}$  

---

Sprawdzamy, czy jest spełniona jedynka trygonometryczna:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{64}{255}\right)}^2+{\left(\frac{8}{17}\right)}^2=\frac{4096}{65025}+\frac{64}{289}=\frac{4096}{65025}+\frac{14400}{65025}=\frac{18496}{65025}\ne 1$  

Odp. Kąt ostry 𝛼 nie istnieje.

---

---

$\text{c)}$  Wyznaczamy cos𝛼:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\text{tg}\alpha$  

$\frac{\frac{9}{41}}{\cos \alpha }=\frac{9}{40}$  

$\frac{9}{41}\cdot 40=9\cdot \cos \alpha \mid :9$  

$\cos \alpha =\frac{40}{41}$  

---

Sprawdzamy, czy jest spełniona jedynka trygonometryczna:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{9}{41}\right)}^2+{\left(\frac{40}{41}\right)}^2=\frac{81}{1681}+\frac{1600}{1681}=\frac{1681}{1681}=1$  

Odp. Kąt ostry 𝛼 istnieje.

---

---

$\text{d)}$  Wyznaczamy sin𝛼:

$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\text{tg}\alpha$  

$\frac{\sin \alpha }{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$  

$5\sin \alpha =2\sqrt{6}\mid :5$  

$\sin \alpha =\frac{2\sqrt{6}}{5}$  

---

Sprawdzamy, czy jest spełniona jedynka trygonometryczna:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha ={\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}+\frac{1}{25}=\frac{25}{25}=1$  

Odp. Kąt ostry 𝛼 istnieje.