Zauważmy, że w dowolnym n-kącie (n ∈ N) z jednego wierzchołka możemy poprowadzić dokładnie n -3 przekątnych (ponieważ nie da się poprowadzić przekątnej do tego samego punktu, ani do dwóch sąsiadujących wierzchołków)

Zauważmy jednak, że licząc w ten sposób,  przekątne zliczamy "podwójnie", ponieważ np. posługując się oznaczeniami z powyższego rysunku zauważmy, że przekątna AC i przekątna CA, to ta sama przekątna.

Zatem, żeby znaleźć liczbę przekątnych w wielokącie iloczyn 

$n\left(n-3\right)$

musimy jeszcze podzielić przez 2.  

Tworzymy funkcję f zmiennej n, która jest połową iloczynu liczb n i n - 3. 

Otrzymujemy

$\mathbf{f}\left(\mathbf{n}\right)=\frac{\mathbf{n}\left(\mathbf{n}-3\right)}{2}$

Zauważmy, że 

$n\ge 0\text{i}n-3\ge 0$

$n\ge 3$

więc dostajemy, że

$n\ge 3$  

Czyli dziedziną funkcji f jest 

$\mathbf{D}:\mathbf{n}\in \mathbb{N}\text{i}\mathbf{n}\ge 3$  

---

Wiemy, że w pewnym wielokącie 

$f\left(n\right)=405$

zatem dostajemy, że

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=405\mid \cdot 2$

$n\left(n-3\right)=810$

$n^2-3n=810\mid -810$

$n^2-3n-810=0$

$\Delta =9-4\cdot 1\cdot \left(-810\right)=9+3240=3249$            

$\sqrt{\Delta }=57$

więc równanie ma dwa rozwiązania

$n_1=\frac{3-57}{2}=\frac{-54}{2}=-27\notin \mathbb{N}$   

$n_2=\frac{3+57}{2}=\frac{60}{2}=30\in \mathbb{N}$  

zatem szukany wielokąt ma 30 boków.