a)

Sprawdzimy, ile liczb ujemnych zapisał Marcin. 

Zauważmy, że liczniki ujemnych ułamków to kolejne liczby naturalne - od 1 do 99. Takich liczb jest 99, więc tych ułamków również jest

$\underline{\underline{99}}$   

Sprawdzimy, ile liczb dodatnich zapisał Marcin. 

Liczniki dodatnich ułamków także są kolejnymi liczbami naturalnymi - od 1 do 99. Zatem tych ułamków również jest

$\underline{\underline{99}}$   

Wobec tego możemy wnioskować, że Marcin zapisał łącznie

$99+99=\underline{\underline{198}}$  

liczb.

Odp. Jest 198 liczb, w tym 99 liczb dodatnich i 99 liczb ujemnych. 

---

b)

Zapiszmy sumę tych liczb i zaobserwujmy pewną zależność.

$\underline{-\frac{99}{100}}+\underline{\underline{\left(-\frac{98}{99}\right)}}+\underline{\underline{\underline{\left(-\frac{97}{98}\right)}}}+\dots +\underline{\underline{\underline{\underline{\left(-\frac{2}{3}\right)}}}}+\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}+\underline{\underline{\underline{\underline{\frac{2}{3}}}}}+\dots +\underline{\underline{\underline{\frac{97}{98}}}}+\underline{\underline{\frac{98}{99}}}+\underline{\frac{99}{100}}=0$  

Zauważmy, że jesteśmy w stanie tak dobrać parami te ułamki, aby suma ułamków w każdej parze wynosiła 0. 

Ponadto każdy z wypisanych ułamków ma swoją parę (mianowicie liczbę do siebie przeciwną), zatem suma wszystkich wypisanych przez Marcina liczb wynosi

$\underline{\underline{0}}$   

---

c)

Zapiszmy iloczyn tych ułamków i zaobserwujmy pewną zależność.

$\left(-\frac{99}{100}\right)\cdot \left(-\frac{98}{99}\right)\cdot \left(-\frac{97}{98}\right)\cdot \dots \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)\cdot \dots \cdot \frac{97}{98}\cdot \frac{98}{99}\cdot \frac{99}{100}$  

W tym iloczynie mamy nieparzystą liczbę czynników ujemnych (99 czynników ujemnych), więc wynik będzie liczbą ujemną. 

Skróćmy ułamki w specyficzny sposób: 

$\left(-\frac{{\sout{99}}^1}{100}\right)\cdot \left(-\frac{{\sout{98}}^1}{{\sout{99}}^1}\right)\cdot \left(-\frac{{\sout{97}}^1}{{\sout{98}}^1}\right)\cdot \left(\frac{{\sout{96}}^1}{{\sout{97}}^1}\right)\cdot \dots \cdot \left(-\frac{{\sout{2}}^1}{{\sout{3}}^1}\right)\cdot \left(-\frac{1}{{\sout{2}}^1}\right)\cdot$  

$\cdot \frac{1}{{\sout{2}}^1}\cdot \frac{{\sout{2}}^1}{{\sout{3}}^1}\cdot \dots \cdot \frac{{\sout{96}}^1}{{\sout{97}}^1}\cdot \frac{{\sout{97}}^1}{{\sout{98}}^1}\cdot \frac{{\sout{98}}^1}{{\sout{99}}^1}\cdot \frac{{\sout{99}}^1}{100}=$  

$=\left(-\frac{1}{100}\right)\cdot \underset{98\text{czynnikoˊw roˊwnych}\left(-1\right)}{\underbrace{\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \dots \cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}}\cdot \underset{98\text{czynnikoˊw roˊwnych}1}{\underbrace{1\cdot 1\cdot \dots \cdot 1\cdot 1}}\cdot \frac{1}{100}=$  

$=\left(-\frac{1}{100}\right)\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{1}{100}=$  

$=\left(-\frac{1}{100}\right)\cdot \frac{1}{100}=$  

$=-\frac{1}{10000}$  

 Zatem iloczyn wszystkich wypisanych przez Marcina liczb wynosi

$\underline{\underline{-\frac{1}{10000}}}$