Rozwiązujemy nierówność 1.

$2{\left(\frac{1}{2}x-1\right)}^2\le {\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x+3\right)}^2-3\sqrt{2}x$  

$2\left(\frac{1}{4}{x}^2-x+1\right)\le \frac{1}{2}{x}^2+3\sqrt{2}x+9-3\sqrt{2}x$  

$\frac{1}{2}{x}^2-2x+2\le \frac{1}{2}{x}^2+9\mid -\frac{1}{2}{x}^2$  

$-2x+2\le 9\mid -2$  

$-2x\le 7\mid \cdot \left(-1\right)$  

$2x\ge -7\mid :2$  

$x\ge -\frac{7}{2}$  

Czyli:

$x\in ⟨-3\frac{1}{2},\infty )$  

$x\in ⟨-\frac{7}{2},\infty )$  

---

Rozwiązujemy nierówność 2.

${\left(\sqrt{2}x-\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{6}-x\right)}^2>\left(x-2\sqrt{3}\right)\left(x+3\sqrt{3}\right)$  

$2x^2-2\sqrt{6}x+3-\left(6-2\sqrt{6}x+x^2\right)>x^2+3\sqrt{3}x-2\sqrt{3}x-18$   

$2x^2-2\sqrt{6}x+3-6+2\sqrt{6}x-x^2>x^2+\sqrt{3}x-18$   

$x^2-3>x^2+\sqrt{3}x-18\mid -x^2$  

$-3>\sqrt{3}x-18\mid +18$  

$15>\sqrt{3}x\mid :\sqrt{3}$  

$\frac{15}{\sqrt{3}}>x$   

Usuwamy niewymierność z mianownika.

$x=\frac{15}{\sqrt{3}}=\frac{15}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}$  

Czyli:

$x\in \left(-\infty ,5\sqrt{3}\right)$  

---

Zatem:

$x\in ⟨-3\frac{1}{2},5\sqrt{3})$  

Zauważmy, że:

$5\sqrt{3}\approx 8,7$  

Czyli:

$a=8$  

$b=-3$  

Obliczamy wartość podanego wyrażenia.

${\log }_{\sqrt{b+5}}{\left(\frac{b+1}{a}\right)}^2={\log }_{\sqrt{-3+5}}{\left(\frac{-3+1}{8}\right)}^2={\log }_{\sqrt{2}}{\left(-\frac{2}{8}\right)}^2={\log }_{\sqrt{2}}{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2=$  

$={\log }_{\sqrt{2}}{\left(\frac{1}{4}\right)}^2={\log }_{\sqrt{2}}{\left(\frac{1}{2^2}\right)}^2={\log }_{\sqrt{2}}{\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)}^2={\log }_{\sqrt{2}}{\left(2^{-2}\right)}^2={\log }_{\sqrt{2}}{2}^{\left(-2\right)\cdot 2}=$   

$={\log }_{\sqrt{2}}{2}^{-4}=-4\cdot {\log }_{\sqrt{2}}2\stackrel{\left(\ast \right)}{=}-4\cdot 2=-8$   

Obliczmy pomocniczo 

${\log }_{\sqrt{2}}2=c$  

${\sqrt{2}}^c=2$  

${\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^c=2$  

$2^{\frac{1}{2}c}=2$  

Podstawy potęg są takie same, więc aby wartości tych potęg były równe ich wykładniki także muszą być takie same. 

$\frac{1}{2}c=1\mid \cdot 2$

$c=2$   

Korzystamy z tego w (*).