Skorzystamy z następującej własności, która zachodzi dla dowolnego a ∈ R:

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|$  

---

$\text{a)}\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2}>4\\ \left|x+2\right|<5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|>4\\ \left|x+2\right|<5\end{array}$  

---

Nierówność |x|>4 określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu 0 jest większa od 4.

$x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)$  

---

Nierówność |x+2|<5 określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu -2 jest mniejsza od 5.

$x\in \left(-7,3\right)$  

---

Rozwiązaniem układu nierówności jest zbiór tych liczb, które spełniają jednocześnie obie nierówności, czyli część wspólna wyznaczonych zbiorów.

$x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(4,+\infty \right)\text{i}x\in \left(-7,3\right)$  

$x\in \left(-7,-4\right)$  

---

---

$\text{b)}\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2}\le 5\\ \sqrt{x^2}>3\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x\right|\le 5\\ \left|x\right|>3\end{array}$  

---

Nierówność |x|≤5 określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu 0 jest mniejsza lub równa 5.

$x\in ⟨-5,5⟩$  

---

Nierówność |x|>3 określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu 0 jest większa od 3.

$x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

---

Rozwiązaniem układu nierówności jest zbiór tych liczb, które spełniają jednocześnie obie nierówności, czyli część wspólna wyznaczonych zbiorów.

$x\in ⟨-5,5⟩\text{i}x\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(3,+\infty \right)$  

$x\in ⟨-5,-3)\cup (3,5⟩$  

---

---

$\text{c)}\{\begin{array}{l}\sqrt{4x^2-4x+1}<7\\ \left|x-2\right|\ge 1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\sqrt{{\left(2x-1\right)}^2}<7\\ \left|x-2\right|\ge 1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|2x-1\right|<7\\ \left|x-2\right|\ge 1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|2\left(x-\frac{1}{2}\right)\right|<7\\ \left|x-2\right|\ge 1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}2\left|x-\frac{1}{2}\right|<7\mid :2\\ \left|x-2\right|\ge 1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x-\frac{1}{2}\right|<\frac{7}{2}\\ \left|x-2\right|\ge 1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x-\frac{1}{2}\right|<3\frac{1}{2}\\ \left|x-2\right|\ge 1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x-0,5\right|<3,5\\ \left|x-2\right|\ge 1\end{array}$  

---

Nierówność |x-0,5|<3,5 określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu 0,5 jest mniejsza od 3,5.

$x\in \left(-3,4\right)$  

---

Nierówność |x-2|≥1 określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu 2 jest większa lub równa 1.

$x\in (-\infty ,1⟩\cup ⟨3,+\infty )$  

---

Rozwiązaniem układu nierówności jest zbiór tych liczb, które spełniają jednocześnie obie nierówności, czyli część wspólna wyznaczonych zbiorów.

$x\in \left(-3,4\right)\text{i}x\in (-\infty ,1⟩\cup ⟨3,+\infty )$  

$x\in (-3,1⟩\cup ⟨3,4)$  

---

---

$\text{d)}\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+10x+25}<3\\ \left|x-2\right|<10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\sqrt{{\left(x+5\right)}^2}<3\\ \left|x-2\right|<10\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\left|x+5\right|<3\\ \left|x-2\right|<10\end{array}$  

---

Nierówność |x+5|<3 określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu -5 jest mniejsza od 3.

$x\in \left(-8,-2\right)$  

---

Nierówność |x-2|<10 określa wszystkie punkty, których odległość na osi liczbowej od punktu 2 jest mniejsza od 10.

$x\in \left(-8,12\right)$  

---

Rozwiązaniem układu nierówności jest zbiór tych liczb, które spełniają jednocześnie obie nierówności, czyli część wspólna wyznaczonych zbiorów.

$x\in \left(-8,-2\right)\text{i}x\in \left(-8,12\right)$  

$x\in \left(-8,-2\right)$