a)
⎩⎨⎧x+y+z=2x−y+z=−6y=z−2x
Do drugiego równania w miejsce y podstawiamy z−2x .
⎩⎨⎧x+y+z=2x−(z−2x)+z=−6y=z−2x
⎩⎨⎧x+y+z=2x−z+2x+z=−6y=z−2x
⎩⎨⎧x+y+z=23x=−6 ∣:3y=z−2x
⎩⎨⎧x+y+z=2x=−2y=z−2x
Do trzeciego równania w miejsce x podstawiamy liczbę −2 .
⎩⎨⎧x+y+z=2x=−2y=z−2⋅(−2)
⎩⎨⎧x+y+z=2x=−2y=z+4
Do pierwszego równania w miejsce y podstawiamy z+4 , a w miejsce x liczbę −2 .
⎩⎨⎧−2+(z+4)+z=2x=−2y=z+4
⎩⎨⎧−2+z+4+z=2x=−2y=z+4
⎩⎨⎧2z+2=2 ∣−2x=−2y=z+4
⎩⎨⎧2z=0 ∣:2x=−2y=z+4
⎩⎨⎧z=0x=−2y=z+4
Do trzeciego równania w miejsce z podstawiamy liczbę 0 .
⎩⎨⎧z=0x=−2y=0+4
⎩⎨⎧z=0x=−2y=4
⎩⎨⎧x=−2y=4z=0
b)
⎩⎨⎧x+y−z=62x+y+z=5x−y+2z=7
Dodajemy lewe i prawe strony dwóch skrajnych równań.
+{x+y−z=6x−y+2z=7
2x+z=13 ∣⋅(−1)
−2x−z=−13
Dodajemy lewe i prawe strony otrzymanego i środkowego równania.
+{−2x−z=−132x+y+z=5
y=−8
Mamy więc:
⎩⎨⎧x+(−8)−z=62x+(−8)+z=5x−(−8)+2z=7
⎩⎨⎧x−8−z=6 ∣+82x−8+z=5 ∣+8x+8+2z=7 ∣−8
⎩⎨⎧x−z=142x+z=13x+2z=−1 ∣⋅(−2)
⎩⎨⎧x−z=142x+z=13−2x−4z=2
Dodajemy lewe i prawe strony dwóch ostatnich równań.
+{2x+z=13−2x−4z=2
−3z=15
3z=−15
z=−5
Wyznaczamy x .
x−z=14
x−(−5)=14
x+5=14
x=9
Czyli:
⎩⎨⎧x=9y=−8z=−5
c)
⎩⎨⎧a−b−c=4 ∣⋅22a+2b+c=04a−2b+3c=1
⎩⎨⎧2a−2b−2c=82a+2b+c=04a−2b+3c=1
Dodajemy lewe i prawe strony dwóch pierwszych równań.
+{2a−2b−2c=82a+2b+c=0
4a−c=8
4a=c+8
c=4a−8
Mamy więc:
⎩⎨⎧2a−2b−2(4a−8)=82a+2b+4a−8=04a−2b+3(4a−8)=1
⎩⎨⎧2a−2b−8a+16=8 ∣−162a+2b+4a−8=0 ∣+84a−2b+12a−24=1 ∣+24
⎩⎨⎧−6a−2b=−86a+2b=816a−2b=25
Dodajemy lewe i prawe strony dwóch ostatnich równań.
+{6a+2b=816a−2b=25
22a=33
a=23
Wyznaczamy b .
6a+2b=8
6⋅23+2b=8
9+2b=8
2b=−1
b=−21
Wyznaczamy c .
c=4a−8=4⋅23−8=6−8=−2
Czyli:
⎩⎨⎧a=23b=−21c=−2
d)
⎩⎨⎧6x+5y+2z=33x−4y+3z=10 ∣⋅(−2)x+y+2z=2
⎩⎨⎧6x+5y+2z=3−6x+8y−6z=−20x+y+2z=2
Dodajemy lewe i prawe strony dwóch pierwszych równań.
+{6x+5y+2z=3−6x+8y−6z=−20
13y−4z=−17
13y=4z−17
13y+17=4z
2z=213y+217
Mamy więc:
⎩⎨⎧6x+5y+213y+217=3−6x+8y−3(213y+217)=−20x+y+213y+217=2
⎩⎨⎧6x+5y+213y+217=3 ∣⋅2−6x+8y−239y−251=−20 ∣⋅2x+y+213y+217=2 ∣⋅2
⎩⎨⎧12x+10y+13y+17=6−12x+16y−39y−51=−402x+2y+13y+17=4
⎩⎨⎧12x+23y+17=6 ∣−17−12x−23y−51=−40 ∣+512x+15y+17=4 ∣−17
⎩⎨⎧12x+23y=−11−12x−23y=112x+15y=−13 ∣⋅6
⎩⎨⎧12x+23y=−11−12x−23y=1112x+90y=−78
Dodajemy lewe i prawe strony dwóch ostatnich równań.
+{−12x−23y=1112x+90y=−78
67y=−67
y=−1
Wyznaczamy x .
12x+23y=−11
12x+23⋅(−1)=−11
12x−23=−11
12x=12
x=1
Wyznaczamy z .
2z=213y+217
2z=213⋅(−1)+217
2z=−213+217
2z=24
2z=2
z=1
Czyli:
⎩⎨⎧x=1y=−1z=1
e)
⎩⎨⎧w+x+y−z=−24w+x−y+z=36w−x+y+z=36−w+x+y+z=36 ∣⋅(−1)
⎩⎨⎧w+x+y−z=−24w+x−y+z=36w−x+y+z=36w−x−y−z=−36
Dodajemy lewe i prawe strony dwóch skrajnych równań.
+{w+x+y−z=−24w−x−y−z=−36
2w−2z=−60
w−z=−30
w=z−30
Dodajemy lewe i prawe strony dwóch środkowych równań.
{w+x−y+z=36w−x+y+z=36
2w+2z=72
w+z=36
Do powyższego równania w miejsce w podstawiamy z−30 .
z−30+z=36
2z−30=36
2z=66
z=33
Wyznaczamy w .
w=z−30=33−30=3
Upraszczamy dwa pierwsze równania.
{3+x+y−33=−243+x−y+33=36
{x+y−30=−24 ∣+30x−y+36=36 ∣−36
{x+y=6x−y=0 ∣+y
{x+y=6x=y
{y+y=6x=y
{2y=6x=y
{y=3x=y
{y=3x=3
Czyli:
⎩⎨⎧w=3x=3y=3z=33
f)
⎩⎨⎧a+b+c+d=4a+b+c=d−2 ∣−da−2b=dc−d=a−b ∣−a
⎩⎨⎧a+b+c+d=4a+b+c−d=−2a−2b=d−a+c−d=−b ∣+b
⎩⎨⎧a+b+c+d=4a+b+c−d=−2a−2b=d−a+b+c−d=0
Do równań w miejsce d podstawiamy a−2b .
⎩⎨⎧a+b+c+a−2b=4a+b+c−(a−2b)=−2a−2b=d−a+b+c−(a−2b)=0
⎩⎨⎧2a−b+c=4a+b+c−a+2b=−2a−2b=d−a+b+c−a+2b=0
⎩⎨⎧2a−b+c=43b+c=−2 ∣−3ba−2b=d−2a+3b+c=0
⎩⎨⎧2a−b+c=4c=−2−3ba−2b=d−2a+3b+c=0
Do równań w miejsce c podstawiamy −2−3b .
⎩⎨⎧2a−b−2−3b=4c=−2−3ba−2b=d−2a+3b−2−3b=0
⎩⎨⎧2a−4b−2=4 ∣+2c=−2−3ba−2b=d−2a−2=0 ∣+2
⎩⎨⎧2a−4b=6c=−2−3ba−2b=d−2a=2 ∣:(−2)
⎩⎨⎧2a−4b=6c=−2−3ba−2b=da=−1
⎩⎨⎧2⋅(−1)−4b=6c=−2−3b−1−2b=da=−1
⎩⎨⎧−2−4b=6 ∣+2c=2−3b−1−2b=da=−1
⎩⎨⎧−4b=8 ∣:(−4)c=2−3b−1−2b=da=−1
⎩⎨⎧b=−2c=−2−3b−1−2b=da=−1
⎩⎨⎧b=−2c=−2−3⋅(−2)−1−2⋅(−2)=da=−1
⎩⎨⎧b=−2c=−2+6−1+4=da=−1
⎩⎨⎧b=−2c=43=da=−1
Czyli:
⎩⎨⎧a=−1b=−2c=4d=3
