$\text{a)}$  

Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego. Przyjmijmy więc, że:

$x=\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0$  

Zatem:

$x+1=\frac{p}{q}+1=\frac{p}{q}+\frac{q}{q}=\frac{p+q}{q}\in \mathbb{Q}$  

Liczba ta również jest liczbą wymierną.

---

$\text{b)}$  

Twierdzenie to udowodnimy nie wprost.

Przypuśćmy, że nieprawdą jest, że liczba  $x+1$  jest niewymierna. Oznacza to zatem, że liczba ta jest wymierna, czyli daje się zapisać w postaci ułamka zwykłego:

$x+1=\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0$  

Zatem:

$x=\frac{p}{q}-1=\frac{p}{q}-\frac{q}{q}=\frac{p-q}{q}\in \mathbb{Q}$  

Liczba  $x$  również nie jest liczbą niewymierną, co doprowadziło nas do sprzeczności.

Oznacza to, że podane twierdzenie jest prawdziwe.

---

$\text{c)}$  

Twierdzenie to udowodnimy nie wprost.

Przypuśćmy, że nieprawdą jest, że liczba  $\sqrt{x}$  jest niewymierna. Oznacza to zatem, że liczba ta jest wymierna, czyli daje się zapisać w postaci ułamka zwykłego:

$\sqrt{x}=\frac{p}{q},p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0$  

Zatem:

$x=\frac{p^2}{q^2}\in \mathbb{Q}$  

Liczba  $x$  nie jest dodatnią liczbą niewymierną, co doprowadziło nas do sprzeczności.

Oznacza to, że podane twierdzenie jest prawdziwe.

---

$\text{d)}$  

Twierdzenie to udowodnimy nie wprost.

Przypuśćmy, że nieprawdą jest, że suma dwóch liczb jest dodatnia, gdy co najmniej jedna z tych liczb jest dodatnia. Oznacza to zatem, że:

$a\le 0,b\le 0$  

Stąd:

$a+b\le 0$  

Suma tych liczb nie jest liczbą dodatnią, co doprowadziło nas do sprzeczności.

Oznacza to, że podane twierdzenie jest prawdziwe.