Narysujmy dowolne wektory  $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}.$  

---

$\text{a)}$  

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$  

$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$  

 

Zauważmy, że odejmując stronami powyższe równania mamy:

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$  

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{b}$  

Zatem:

$-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{b}$  

 

Wracając do pierwszej równości mamy:

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$  

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$  

$2\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}$  

 

---

$\text{b)}$  

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$  

$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$  

 

Zauważmy, że dodając stronami powyższe równania mamy:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$  

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{a}$  

$\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}$  

 

Wracając do pierwszej równości mamy:

$\overrightarrow{u}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{v}-\overrightarrow{b}$  

$\overrightarrow{b}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$  

$\overrightarrow{b}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{v}$