$\text{a)}$  

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$      

$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$  

---

$\text{b)}$  

$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)$  

$\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$  

---

$\text{c)}$  

$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}$  

$\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$