$\text{a)}{x}^4-10x^2+25=0$  

${\left(x^2\right)}^2-10x^2+25=0$  

Podstawiamy x²=t, t≥0.

$t^2-10t+25=0$  

${\left(t-5\right)}^2=0$  

$t-5=0$  

$t=5$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$x^2=5$  

$x=\sqrt{5}\text{lub}x=-\sqrt{5}$  

---

$\text{b)}{x}^4-5x^2+6=0$  

${\left(x^2\right)}^2-5x^2+6=0$  

Podstawiamy x²=t, t≥0.

$t^2-5t+6=0$  

$\Delta ={\left(-5\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=25-24=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$t=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2\text{lub}t=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

• dla t=2:

$x^2=2$  

$x=\sqrt{2}\text{lub}x=-\sqrt{2}$  

• dla t=3:

$x^2=3$  

$x=\sqrt{3}\text{lub}x=-\sqrt{3}$  

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy:

$x=\sqrt{2}\text{lub}x=-\sqrt{2}\text{lub}x=\sqrt{3}\text{lub}x=-\sqrt{3}$  

---

$\text{c)}{x}^4+2\sqrt{2}{x}^2+2=0$  

${\left(x^2\right)}^2+2\sqrt{2}x+2=0$  

Podstawiamy x²=t, t≥0.

$t^2+2\sqrt{2}t+2=0$  

$t^2+2\cdot t\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2=0$  

${\left(t+\sqrt{2}\right)}^2=0$  

$t+\sqrt{2}=0$  

$t=-\sqrt{2}<0$  

Otrzymaliśmy t<0, więc równanie ze zmienną x jest sprzeczne (nie ma rozwiązań) [wracając z podstawieniem do zmiennej x otrzymamy x²=-√2<0].

---

$\text{d)}2x^4-6x^2+10=0\mid :2$  

$x^4-3x^2+5=0$  

${\left(x^2\right)}^2-3x^2+5=0$  

Podstawiamy x²=t, t≥0.

$t^2-3t+5=0$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11<0$  

Δ<0, więc równanie ze zmienną t nie ma rozwiązań. Oznacza to, ze równanie ze zmienną x również nie ma rozwiązań (jest sprzeczne).

---

$\text{e)}{x}^4+2=4x^2$  

$x^4-4x^2+2=0$  

${\left(x^2\right)}^2-4x^2+2=0$  

Podstawiamy x²=t, t≥0.

$t^2-4t+2=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot 2=16-8=8,\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$  

$t=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}\text{lub}t=\frac{4+2\sqrt{2}}{2}=2+\sqrt{2}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

• $\text{dla}t=2-\sqrt{2}$  

$x^2=2-\sqrt{2}$  

$x=\sqrt{2-\sqrt{2}}\text{lub}x=-\sqrt{2-\sqrt{2}}$  

• $\text{dla}t=2+\sqrt{2}$  

$x^2=2+\sqrt{2}$  

$x=\sqrt{2+\sqrt{2}}\text{lub}x=-\sqrt{2+\sqrt{2}}$  

Łącząc oba przypadki, otrzymujemy:

$x=\sqrt{2-\sqrt{2}}\text{lub}x=-\sqrt{2-\sqrt{2}}\text{lub}x=\sqrt{2+\sqrt{2}}\text{lub}x=-\sqrt{2+\sqrt{2}}$  

---

$\text{f)}4x^4-20x^2+25=0$  

$4{\left(x^2\right)}^2-20x^2+25=0$  

Podstawiamy x²=t, t≥0.

$4t^2-20t+25=0$  

${\left(2t\right)}^2-2\cdot 2t\cdot 5+5^2=0$  

${\left(2t-5\right)}^2=0$  

$2t-5=0$  

$2t=5\mid :2$  

$t=\frac{5}{2}$  

Wracamy z podstawieniem do zmiennej x.

$x^2=\frac{5}{2}$  

$x=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{2}\text{lub}x=-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{2}$