Zaprzeczeniem zdania "dla każdego  $x$  zachodzi  $p\left(x\right)$ " jest zdanie "istnieje  $x,$  dla którego zachodzi  $\neg p\left(x\right)$ ".

Jest to I prawo De Morgana dla kwantyfikatorów.

Symbolicznie zapisujemy je następująco:

$\neg \underset{x}{\bigwedge }p\left(x\right)\iff \underset{x}{\bigvee }\neg p\left(x\right)$  

---

Zaprzeczeniem zdania "istnieje  $x,$  dla którego zachodzi  $p\left(x\right)$ " jest zdanie "dla każdego  $x$  zachodzi  $\neg p\left(x\right)$ ".

Jest to II prawo De Morgana dla kwantyfikatorów.

Symbolicznie zapisujemy je następująco:

$\neg \underset{x}{\bigvee }p\left(x\right)\iff \underset{x}{\bigwedge }\neg p\left(x\right)$  

---

Przypomnijmy też:  

I prawo De Morgana zaprzeczenia alternatywy

Symbolicznie zapisujemy je następująco:

$\neg \left(p\vee q\right)\iff \left[\left(\neg p\right)\wedge \left(\neg q\right)\right]$  

II prawo De Morgana zaprzeczenia koniunkcji

Symbolicznie zapisujemy je następująco:

$\neg \left(p\wedge q\right)\iff \left[\left(\neg p\right)\vee \left(\neg q\right)\right]$  

---

---

$\text{a)}$  zdanie prawdziwe

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbb{R}}{\bigvee }{x}^2+2\le 0$        

---

$\text{b)}$  zdanie prawdziwe 

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbb{N}}{\bigwedge }x\ge 2$  

---

$\text{c)}$  zdanie prawdziwe

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbb{N}}{\bigvee }\left(\sqrt{x}<0\wedge x\ge 0\right)$  

---

$\text{d)}$  zdanie fałszywe

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbb{N}}{\bigvee }\left(\sqrt{x}\ne 4\wedge x^2\ne 16\right)$  

---

$\text{e)}$  zdanie fałszywe

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbb{Z}}{\bigvee }\left(x<5\vee x>5\right)$  

---

$\text{f)}$  zdanie fałszywe

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbb{R}}{\bigvee }\left(x\ge \sqrt{2}\wedge x\le \sqrt{2}\right)$  

---

$\text{g)}$  zdanie prawdziwe

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbb{R}}{\bigvee }\left(x\le 0\wedge x>0\right)$  

---

$\text{h)}$  zdanie fałszywe

Zaprzeczenie:

$\underset{x\in \mathbb{R}}{\bigvee }\left(x^2\ne 2\vee x\ge 0\right)$