Oblicz obwód czworokąta ABCD, korzystając z danych...- Zadanie 8.32: Matematyka 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$∣ D E ∣ = 4 cm$

Zatem:

$t g 30^{\circ} = \frac{∣ D E ∣}{∣ A E ∣}$

$\frac{3}{3} = \frac{4}{∣ A E ∣}$

$3 ∣ A E ∣ = 12$

$∣ A E ∣ = \frac{12}{3}$

$∣ A E ∣ = \frac{12 3}{3}$

$∣ A E ∣ = 43 [cm]$

$sin 30^{\circ} = \frac{∣ D E ∣}{∣ A D ∣}$

$\frac{1}{2} = \frac{4}{∣ A D ∣}$

$∣ A D ∣ = 8 [cm]$

Obliczamy obwód równoległoboku ABCD:

$L = 2 (∣ A B ∣ + ∣ A D ∣) = 2 (2 \cdot 43 + 8) = (163 + 16) [cm]$

Odp. Obwód równoległoboku ABCD jest równy (16 + 16√3) cm.

b) CDEF - kwadrat, więc:

$∣ D C ∣ = 3 cm$

$∣ D E ∣ = 3 cm$

$∣ ∢ A D E ∣ = 135^{\circ} - 90^{\circ} = 45^{\circ}$

Zatem trójkąt AED to trójkąt równoramienny prostokątny.

$t g 45^{\circ} = \frac{∣ D E ∣}{∣ A E ∣}$

$1 = \frac{3}{∣ A E ∣}$

$∣ A E ∣ = 3 [cm]$

$cos 45^{\circ} = \frac{∣ A E ∣}{∣ A D ∣}$

$\frac{2}{2} = \frac{3}{∣ A D ∣}$

$∣ A D ∣ = \frac{6}{2}$

$∣ A D ∣ = \frac{6 2}{2}$

$∣ A D ∣ = 32 [cm]$

$∣ ∢ F C B ∣ = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$

$cos 30^{\circ} = \frac{∣ F C ∣}{∣ B C ∣}$

$\frac{3}{2} = \frac{3}{∣ B C ∣}$

$∣ B C ∣ = \frac{6}{3}$

$∣ B C ∣ = \frac{6 3}{3}$

$∣ B C ∣ = 23 [cm]$

$sin 30^{\circ} = \frac{∣ F B ∣}{∣ B C ∣}$

$\frac{1}{2} = \frac{∣ F B ∣}{2 3}$

$3 = ∣ F B ∣$

Obliczamy obwód trapezu ABCD:

$L = ∣ A E ∣ + ∣ E F ∣ + ∣ F B ∣ + ∣ B C ∣ + ∣ C D ∣ + ∣ A D ∣ = 3 + 3 + 3 + 23 + 3 + 32 = (9 + 33 + 32) [cm]$

Odp. Obwód trapezu ABCD jest równy (9 + 3√3 + 3√2) cm.

$sin 30^{\circ} = \frac{∣ A B ∣}{∣ B D ∣}$

$\frac{1}{2} = \frac{∣ A B ∣}{2}$

$∣ A B ∣ = 1 [cm]$

$cos 30^{\circ} = \frac{∣ A D ∣}{∣ B D ∣}$

$\frac{3}{2} = \frac{∣ A D ∣}{2}$

$3 [cm] = ∣ A D ∣$

Łatwo zauważyć, że kąt ABD ma miarę 60^o (z sumy miar kątów w trójkącie ABD), zatem kąt DBC ma miarę 105^o-60^o=45^o.

$sin 45^{\circ} = \frac{∣ D C ∣}{∣ D B ∣}$

$\frac{2}{2} = \frac{∣ D C ∣}{2}$

$2 [cm] = ∣ D C ∣$

$t g 45^{\circ} = \frac{∣ D C ∣}{∣ B C ∣}$

$1 = \frac{2}{∣ B C ∣}$

$∣ B C ∣ = 2 [cm]$

Obliczamy obwód czworokąta ABCD:

$L = ∣ A B ∣ + ∣ B C ∣ + ∣ C D ∣ + ∣ A D ∣ = 1 + 2 + 2 + 3 = (1 + 22 + 3) [cm]$

Odp. Obwód czworokąta ABCD jest równy (1 + 2√2 + √3) cm.

Magdalena Matusik

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Premium

14:34

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt (2)

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt (1)

Premium

10:50

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.