a) Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

$\left|DE\right|=4\text{cm}$  

Zatem:

$\mathrm{tg}{30}^{\circ }=\frac{\left|DE\right|}{\left|AE\right|}$  

$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4}{\left|AE\right|}$  

$\sqrt{3}\left|AE\right|=12$  

$\left|AE\right|=\frac{12}{\sqrt{3}}$  

$\left|AE\right|=\frac{12\sqrt{3}}{3}$  

$\left|AE\right|=4\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

 

$\sin {30}^{\circ }=\frac{\left|DE\right|}{\left|AD\right|}$  

$\frac{1}{2}=\frac{4}{\left|AD\right|}$  

$\left|AD\right|=8\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy obwód równoległoboku ABCD:

$L=2\left(\left|AB\right|+\left|AD\right|\right)=2\left(2\cdot 4\sqrt{3}+8\right)=\left(16\sqrt{3}+16\right)\left[\text{cm}\right]$  

 

Odp. Obwód równoległoboku ABCD jest równy (16 + 16√3) cm.

---

b) CDEF - kwadrat, więc:

$\left|DC\right|=3\text{cm}$  

$\left|DE\right|=3\text{cm}$  

 

$\left|\sphericalangle ADE\right|={135}^{\circ }-{90}^{\circ }={45}^{\circ }$  

Zatem trójkąt AED to trójkąt równoramienny prostokątny.

$\mathrm{tg}{45}^{\circ }=\frac{\left|DE\right|}{\left|AE\right|}$  

$1=\frac{3}{\left|AE\right|}$  

$\left|AE\right|=3\left[\text{cm}\right]$  

 

$\cos {45}^{\circ }=\frac{\left|AE\right|}{\left|AD\right|}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{\left|AD\right|}$  

$\left|AD\right|=\frac{6}{\sqrt{2}}$  

$\left|AD\right|=\frac{6\sqrt{2}}{2}$  

$\left|AD\right|=3\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

 

$\left|\sphericalangle FCB\right|={120}^{\circ }-{90}^{\circ }={30}^{\circ }$  

$\cos {30}^{\circ }=\frac{\left|FC\right|}{\left|BC\right|}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{\left|BC\right|}$  

$\left|BC\right|=\frac{6}{\sqrt{3}}$  

$\left|BC\right|=\frac{6\sqrt{3}}{3}$  

$\left|BC\right|=2\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]$  

 

$\sin {30}^{\circ }=\frac{\left|FB\right|}{\left|BC\right|}$  

$\frac{1}{2}=\frac{\left|FB\right|}{2\sqrt{3}}$  

$\sqrt{3}=\left|FB\right|$  

 

Obliczamy obwód trapezu ABCD:

$L=\left|AE\right|+\left|EF\right|+\left|FB\right|+\left|BC\right|+\left|CD\right|+\left|AD\right|=3+3+\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3+3\sqrt{2}=\left(9+3\sqrt{3}+3\sqrt{2}\right)\left[\text{cm}\right]$  

 

Odp. Obwód trapezu ABCD jest równy (9 + 3√3 + 3√2) cm.

---

c)

$\sin {30}^{\circ }=\frac{\left|AB\right|}{\left|BD\right|}$  

$\frac{1}{2}=\frac{\left|AB\right|}{2}$  

$\left|AB\right|=1\left[\text{cm}\right]$  

 

$\cos {30}^{\circ }=\frac{\left|AD\right|}{\left|BD\right|}$  

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\left|AD\right|}{2}$  

$\sqrt{3}\left[\text{cm}\right]=\left|AD\right|$  

 

Łatwo zauważyć, że kąt ABD ma miarę 60^o (z sumy miar kątów w trójkącie ABD), zatem kąt DBC ma miarę 105^o-60^o=45^o.

$\sin {45}^{\circ }=\frac{\left|DC\right|}{\left|DB\right|}$  

$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\left|DC\right|}{2}$  

$\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]=\left|DC\right|$  

 

$\mathrm{tg}{45}^{\circ }=\frac{\left|DC\right|}{\left|BC\right|}$  

$1=\frac{\sqrt{2}}{\left|BC\right|}$  

$\left|BC\right|=\sqrt{2}\left[\text{cm}\right]$  

 

Obliczamy obwód czworokąta ABCD:

$L=\left|AB\right|+\left|BC\right|+\left|CD\right|+\left|AD\right|=1+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{3}=\left(1+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\left[\text{cm}\right]$  

 

Odp. Obwód czworokąta ABCD jest równy (1 + 2√2 + √3) cm.