Rysunek pomocniczy:

---

$\text{a)}$  W trójkącie równobocznym wysokości zawierają się w środkowych boków.

Zatem punkt  $O$  dzieli te wysokości w stosunku  $2:1,$  licząc od wierzchołka.

Wszystkie wysokości trójkąta równobocznego mają taką samą długość.

 

Z powyższego wynika, że:

$\left|DO\right|=\left|OE\right|$  

A stąd:

$\left|\angle OED\right|=\left|\angle EDO\right|$  

 

Rozważmy trójkąt  $\Delta DEB.$  Jest to trójkąt o kącie  ${60}^{\circ }$  między dwoma równymi bokami  $\left(\left|DB\right|=\left|BE\right|\right),$  

zatem jest równoboczny.

Stąd wynika, że  $\left|AD\right|=\left|DE\right|.$

A zatem:

$\left|\angle DAE\right|=\left|\angle AED\right|$  

 

Trójkąty  $\Delta ODE$  i  $\Delta ADE$  mają wspólny kąt  $\left(\left|\angle AED\right|=\left|\angle OED\right|\right).$  

 

Mamy więc:

$\left|\angle DAE\right|=\left|\angle AED\right|=\left|\angle OED\right|=\left|\angle EDO\right|$  

i trójkąty  $\Delta OED$  i  $\Delta ADE$  są podobne na podstawie cechy kkk, co należało dowieść.

 

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

$a-$  długość boku trójkąta  $\Delta ABC$  

$h-$  wysokość trójkąta  $\Delta ABC$  

 

Wysokość trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

 

Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta  $\Delta ODE$  do trójkąta  $\Delta ADE:$  

$k=\frac{\left|DE\right|}{\left|AE\right|}=\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{2}a\cdot \frac{2}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

 

Odp. Skala podobieństwa trójkąta  $\Delta ODE$  do trójkąta  $\Delta ADE$  jest równa  $\frac{\sqrt{3}}{3}.$  

---

$\text{b)}$  Mamy dane:

$L=2$  

 

Zauważmy, że:

$\left|OD\right|=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

 

Obliczamy obwód trójkąta  $\Delta ODE:$  

$L=2\cdot \left|OD\right|+\left|DE\right|$  

$L=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{2}a=\frac{a\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}a$  

 

Wiemy, że obwód jest równy  $2.$  Stąd:

$\frac{a\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}a=2\mid \cdot 6$  

$2\sqrt{3}a+3a=12$  

$\left(2\sqrt{3}+3\right)a=12\mid :\left(2\sqrt{3}+3\right)$  

$a=\frac{12}{2\sqrt{3}+3}\cdot \frac{2\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}-3}=\frac{12\left(2\sqrt{3}-3\right)}{12-9}=\frac{12\left(2\sqrt{3}-3\right)}{3}=4\left(2\sqrt{3}-3\right)=$  

$=8\sqrt{3}-12=-12+8\sqrt{3}$  

 

Odp. Bok trójkąta ma długość  $-12+8\sqrt{3}.$