Kąt zewnętrzny wielokąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego.

Zatem kąt wewnętrzny ma miarę  ${162}^{\circ },$  bo:

${180}^{\circ }-{18}^{\circ }={162}^{\circ }$  

 

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta foremnego jest równa  ${180}^{\circ }\cdot \left(n-2\right),$  gdzie  $n$  oznacza

liczbę boków wielokąta  $\left(n\in \mathbf{R},n>2\right).$  

 

W takim razie miara jednego kąta takiego wielokąta jest równa  $\frac{{180}^{\circ }\cdot \left(n-2\right)}{n},$  

bo w wielokącie foremnym wszystkie katy wewnętrzne mają równe miary.

 

Wiemy, że kąt wewnętrzny wielokąta foremnego jest równy  ${162}^{\circ }.$  Stąd:

$\frac{{180}^{\circ }\cdot \left(n-2\right)}{n}={162}^{\circ }\mid \cdot n$  

${180}^{\circ }\cdot \left(n-2\right)={162}^{\circ }n$  

${180}^{\circ }n-{360}^{\circ }={162}^{\circ }n$  

${18}^{\circ }n={360}^{\circ }\mid :{18}^{\circ }$  

$n=20$  

Czyli wielokąt jest dwudziestokątem foremnym.

 

Liczbę przekątnych  $n-$ kąta obliczamy ze wzoru:  $\frac{n\left(n-3\right)}{2}.$  

Czyli mamy:

$\frac{n\left(n-3\right)}{2}=\frac{{\sout{20}}^{10}\cdot \left(20-3\right)}{{\sout{2}}^1}=10\cdot 17=170$  

 

Odp. Wielokąt ma  $170$  przekątnych.