Rozwiąż dany układ równań metodą...- Zadanie 5.35: Matematyka 1. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

$a)$

${(x - 3) (x + 3) + 3 y - x + 2 = (x - 2)^{2} + y - 2 x + y = 2$

${x^{2} - 9 + 3 y - x + 2 = x^{2} - 4 x + 4 + y y = 2 x + 2$

${2 y + 3 x = 11 y = 2 x + 2$

Podstawiamy y=2x+2 do pierwszego równania.

${2 (2 x + 2) + 3 x = 11 y = 2 x + 2$

${4 x + 4 + 3 x = 11 y = 2 x + 2$

${7 x = 7 ∣ : 7 y = 2 x + 2$

${x = 1 y = 2 x + 2$

Podstawiamy x=1 do drugiego równania.

${x = 1 y = 2 + 2$

${x = 1 y = 4$

$b)$

${2 (y - x) + 4 = 2 y y - (x + 1)^{2} = 2 - (x - 1)^{2}$

${2 y - 2 x + 4 = 2 y y - (x^{2} + 2 x + 1) = 2 - (x^{2} - 2 x + 1)$

${- 2 x = - 4 ∣ : (- 2) y - x^{2} - 2 x - 1 = 2 - x^{2} + 2 x - 1$

${x = 2 y - 4 x = 2$

Podstawiamy x=2 do drugiego równania.

${x = 2 y - 4 \cdot 2 = 2$

${x = 2 y - 8 = 2$

${x = 2 y = 10$

$c)$

${(x - 1)^{2} - (y + 3)^{2} = (x - y) (x + y) - 2 y 3 x + 5 = y$

${x^{2} - 2 x + 1 - (y^{2} + 6 y + 9) = x^{2} - y^{2} - 2 y y = 3 x + 5$

${- 2 x + 1 - y^{2} - 6 y - 9 = - y^{2} - 2 y y = 3 x + 5$

${- 2 x - 4 y = 8 ∣ : (- 2) y = 3 x + 5$

${x + 2 y = - 4 y = 3 x + 5$

Podstawiamy y=3x+5 do pierwszego równania.

${x + 2 (3 x + 5) = - 4 y = 3 x + 5$

${x + 6 x + 10 = - 4 y = 3 x + 5$

${7 x = - 14 \ ∣ : 7 y = 3 x + 5$

${x = - 2 y = 3 x + 5$

Podstawiamy x=-2 do drugiego równania.

${x = - 2 y = 3 \cdot (- 2) + 5$

${x = - 2 y = - 6 + 5$

${x = - 2 y = - 1$

$d)$

${(x + 1) (y - 2) - (x - 2) (y + 1) = 6 (x - y)^{2} + x + 2 = x (x - y) - y (x - y) + y$

${x y - 2 x + y - 2 - (x y + x - 2 y - 2) = 6 x^{2} - 2 x y + y^{2} + x + 2 = x^{2} - x y - x y + y^{2} + y$

${x y - 2 x + y - 2 - x y - x + 2 y + 2 = 6 x + 2 = y$

${- 3 x + 3 y = 6 ∣ : 3 y = x + 2$

${- x + y = 2 y = x + 2$

Podstawiamy y=x+2 do pierwszego równania.

${- x + x + 2 = 2 y = x + 2$

${2 = 2 y = x + 2$

Pierwsze równanie w układzie jest tożsamościowe, więc układ równań jest nieoznaczony. Rozwiązaniem układu jest każda para liczb mająca postać (x; x+2), gdzie x ∈ R.

$e)$

${27 y^{2} - 3 (2 x - 3 y)^{2} - 2 x = y + 5 - 12 x (x - 3 y) (x - 3)^{2} - (y - 1)^{2} + 10 x = 10 + x^{2} - y^{2}$

${27 y^{2} - 3 (4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}) - 2 x = y + 5 - 12 x^{2} + 36 x y x^{2} - 6 x + 9 - (y^{2} - 2 y + 1) + 10 x = 10 + x^{2} - y^{2}$

${27 y^{2} - 12 x^{2} + 36 x y - 27 y^{2} - 2 x = y + 5 - 12 x^{2} + 36 x y x^{2} - 6 x + 9 - y^{2} + 2 y - 1 + 10 x = 10 + x^{2} - y^{2}$

${- 2 x = y + 5 2 y = - 4 x + 2 ∣ : 2$

${- 2 x = y + 5 y = - 2 x + 1$

Podstawiamy y=-2x+1 do pierwszego równania.

${- 2 x = - 2 x + 1 + 5 y = - 2 x + 1$

${0 = 6 y = - 2 x + 1$

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ równań jest sprzeczny.

$f)$

${4 y = (2 x - 5) (- 5 - 2 x) + (2 x + 3)^{2} - 34 (3 x - 2)^{2} - (3 x - y) (3 x + y) = y (y - 2)$

${4 y = - (2 x - 5) (2 x + 5) + 4 x^{2} + 12 x + 9 - 34 9 x^{2} - 12 x + 4 - (9 x^{2} - y^{2}) = y^{2} - 2 y$

${4 y = - (4 x^{2} - 25) + 4 x^{2} + 12 x - 25 9 x^{2} - 12 x + 4 - 9 x^{2} + y^{2} = y^{2} - 2 y$

${4 y = - 4 x^{2} + 25 + 4 x^{2} + 12 x - 25 - 12 x + 4 = - 2 y ∣ : (- 2)$

${4 y = 12 x 6 x - 2 = y$

Podstawiamy y=6x-2 do pierwszego równania.

${4 (6 x - 2) = 12 x y = 6 x - 2$

${24 x - 8 = 12 x y = 6 x - 2$

${12 x = 8 ∣ : 12 y = 6 x - 2$

${x = \frac{2}{3} y = 6 x - 2$

Podstawiamy x=2/3 do drugiego równania.

${x = \frac{2}{3} y = 6 \cdot \frac{2}{3} - 2$

${x = \frac{2}{3} y = 4 - 2$

${x = \frac{2}{3} y = 2$

Dagmara Kowalczuk

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Pojęcia wstępne

Premium

8:08

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (2)

Premium

12:58

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.