Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją rosnącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)<f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją malejącą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, z nierówności x₁<x₂ wynika nierówność f(x₁)>f(x₂).

Funkcję liczbową f: X→Y nazywamy funkcją stałą w zbiorze A, A⊂X, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych argumentów x₁, x₂, należących do zbioru A, zachodzi równość f(x₁)=f(x₂).

Zgodnie z powyższym, aby zbadać, która funkcja jest rosnąca, a która jest malejąca, wystarczy zbadać znak wyrażenia f(x₁)-f(x₂).

---

a) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (-∞,0).   

Ponadto mamy:  $x_1,x_2\in \left(-\infty ,0\right)$  

 

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}=\frac{2x_2}{x_1{x}_2}-\frac{2x_1}{x_1{x}_2}=\frac{2x_2-2x_1}{x_1{x}_2}=\frac{2\left(x_2-x_1\right)}{x_1{x}_2}$  

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₂-x₁ jest liczbą dodatnią.

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem iloczyn x₁x₂ jest liczbą dodatnią.

Zatem otrzymujemy:

$\frac{2\left(x_2-x_1\right)}{x_1{x}_2}>0$  

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$  

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

Zatem funkcja f jest malejąca w zbiorze (-∞,0).

---

b) Zakładamy, że x₁<x₂, czyli x₂-x₁>0, gdzie x₁, x₂ ∈ (0,+oo).   

Ponadto mamy:  $x_1,x_2\in \left(0,+\infty \right)$  

 

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}=\frac{2x_2}{x_1{x}_2}-\frac{2x_1}{x_1{x}_2}=\frac{2x_2-2x_1}{x_1{x}_2}=\frac{2\left(x_2-x_1\right)}{x_1{x}_2}$  

Z założeń mamy x₁<x₂, zatem różnica x₂-x₁ jest liczbą dodatnią.

Iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest liczbą nieujemną, zatem iloczyn x₁x₂ jest liczbą nieujemną.

Zatem otrzymujemy:

$\frac{2\left(x_2-x_1\right)}{x_1{x}_2}>0$  

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>0$  

$f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$  

Zatem funkcja f jest malejąca w zbiorze (0,+∞).

---

c) Funkcja f nie jest malejąca w zbiorze R-{0}, ponieważ weźmy:

$x_1=-1,x_2=1$  

$f\left(x_1\right)=\frac{2}{-1}=-2$  

$f\left(x_2\right)=\frac{2}{1}=2$  

Zatem okazuje się, że:

$x_1<x_2,\text{ale}f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$  

Zatem funkcja f nie jest malejąca w zbiorze R-{0}.