Funkcję liczbową f nazywamy funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz spełniona jest równość f(-x)=f(x).

Funkcję liczbową f nazywamy funkcją nieparzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz spełniona jest równość f(-x)=-f(x).

Wniosek: Funkcje parzyste są symetryczne względem osi OY, a funkcje nieparzyste - względem początku układu współrzędnych.

---

a) Określamy dziedzinę funkcji:

$D_f=\mathbf{R}$  

Dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny względem osi OY, więc pierwszy warunek definicji jest spełniony.

Sprawdzamy, że funkcja jest nieparzysta:

$f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^3+4\cdot \left(-x\right)=-x^3-4x=-\left(x^3+4x\right)=-f\left(x\right)$  

Zatem funkcja f jest nieparzysta.

---

b) Określamy dziedzinę funkcji:

$D_f=\mathbf{R}$  

Dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny względem osi OY, więc pierwszy warunek definicji jest spełniony.

Sprawdzamy, że funkcja jest parzysta:

$f\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2-3\cdot {\left(-x\right)}^4=x^2-3x^4=f\left(x\right)$  

Zatem funkcja f jest parzysta.

---

c) Określamy dziedzinę funkcji:

$x^6\ne 0$  

$x\ne 0$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{0\right\}$  

Dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny względem osi OY, więc pierwszy warunek definicji jest spełniony.

Sprawdzamy, że funkcja jest parzysta:

$f\left(-x\right)=\frac{-1}{{\left(-x\right)}^6}=\frac{-1}{x^6}=f\left(x\right)$  

Zatem funkcja f jest parzysta.

---

d) Określamy dziedzinę funkcji:

$x^3\ne 0$  

$x\ne 0$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{0\right\}$  

Dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny względem osi OY, więc pierwszy warunek definicji jest spełniony.

Sprawdzamy, że funkcja jest nieparzysta:

$f\left(-x\right)=\frac{6}{{\left(-x\right)}^3}=\frac{6}{-x^3}=-\frac{6}{x^3}=-f\left(x\right)$  

Zatem funkcja f jest nieparzysta.

---

e) Określamy dziedzinę funkcji:

$1-x^2\ne 0$  

$x^2\ne 1$  

$x\ne 1\wedge x\ne -1$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-1,1\right\}$  

Dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny względem osi OY, więc pierwszy warunek definicji jest spełniony.

Sprawdzamy, że funkcja jest nieparzysta:

$f\left(-x\right)=\frac{2\cdot {\left(-x\right)}^3}{1-{\left(-x\right)}^2}=\frac{-2x^3}{1-x^2}=-\frac{2x^3}{1-x^2}=-f\left(x\right)$  

Zatem funkcja f jest nieparzysta.

---

f) Określamy dziedzinę funkcji:

$x^2-4\ne 0$  

$x^2\ne 4$  

$x\ne 2\wedge x\ne -2$  

$D_f=\mathbf{R}-\left\{-2,2\right\}$  

Dziedziną funkcji jest zbiór symetryczny względem osi OY, więc pierwszy warunek definicji jest spełniony.

Sprawdzamy, że funkcja jest parzysta:

$f\left(-x\right)=\frac{5}{{\left(-x\right)}^2-4}=\frac{5}{x^2-4}=f\left(x\right)$  

Zatem funkcja f jest parzysta.