a) Założenie:

$x-2\ne 0\mid +2$  

$x\ne 2$  

$D_f=\mathbb{R}-\left\{2\right\}$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji.   

$0=\frac{2x^2-4x}{x-2}$  

$0=\frac{2x\left(x-2\right)}{x-2}$  

$0=2x\mid :2$  

$x=0$  

Miejscem zerowym tej funkcji jest x=0.

---

b) Założenie:

$3-x>0\mid +x$  

$3>x$  

$D_f=\left(-\infty ,3\right)$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji.

$0=\frac{\frac{1}{3}{x}^2-3}{\sqrt{3-x}}\mid \cdot \sqrt{3-x}$  

$0=\frac{1}{3}{x}^2-3\mid -\frac{1}{3}{x}^2$  

$-\frac{1}{3}{x}^2=-3\mid \cdot \left(-3\right)$  

$x^2=9$  

$x=3\notin D\vee x=-3$  

Miejscem zerowym tej funkcji jest x=-3.

---

c) Założenie:

$x^2+4\ne 0\mid -4$  

$x^2\ne -4$  

$D_f=\mathbb{R}$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji.

$0=\frac{x^2+5x}{x^2+4}\mid \cdot \left(x^2+4\right)$  

$0=x^2+5x$  

$0=x\left(x+5\right)$  

$x=0\vee x+5=0$  

$x=0\vee x=-5$  

Miejscem zerowym tej funkcji są x=0 i x=-5.

---

d) Założenie:

$x^2-2x+1\ne 0$  

${\left(x-1\right)}^2\ne 0$  

$x-1\ne 0\mid +1$  

$x\ne 1$  

$D_f=\mathbb{R}-\left\{1\right\}$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji.

$0=\frac{x^2-x}{x^2-2x+1}$  

$0=\frac{x\left(x-1\right)}{{\left(x-1\right)}^2}$  

$0=x\left(x-1\right)\mid \cdot \left(x-1\right)$  

$0=x$  

Miejscem zerowym tej funkcji jest x=0.

---

e) Założenie:

$4x^2-1\ne 0\mid +1$  

$4x^2\ne 1\mid :4$  

$x^2\ne \frac{1}{4}$  

$x\ne \frac{1}{2}\wedge x\ne -\frac{1}{2}$  

$D_f=\mathbb{R}-\left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji.

$0=\frac{4x^2+4x+1}{4x^2-1}$  

$0=\frac{{\left(2x+1\right)}^2}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}$  

$0=\frac{2x+1}{2x-1}\mid \cdot \left(2x-1\right)$  

$0=2x+1\mid -2x$  

$-2x=1\mid :\left(-2\right)$  

$x=-\frac{1}{2}\notin D$  

Funkcja nie ma miejsca zerowego.

---

f) Założenie:

$4x-1>0\mid +1$  

$4x>1\mid :4$  

$x>\frac{1}{4}$  

$D_f=\left(\frac{1}{4},+\infty \right)$  

Wyznaczmy miejsce zerowe tej funkcji.

$0=\frac{1-8x+16x^2}{\sqrt{4}x-1}\mid \cdot \sqrt{4x-1}$  

$0=1-8x+16x^2$  

$0={\left(1-4x\right)}^2$  

$0=1-4x\mid +4x$  

$4x=1\mid :4$  

$x=\frac{1}{4}$  

Funkcja nie ma miejsca zerowego.