🎓 Wykaż, że √11 jest liczbą niewymierną. - Zadanie 40: Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019 - strona 73
Przedmiot:
Matematyka
Wybrana książka:
Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019 (Zbiór zadań, OE Pazdro)
Klasa:
I liceum
Strona 73

Wykaż, że √11 jest liczbą niewymierną.

35
 Zadanie
36
 Zadanie
37
 Zadanie
38
 Zadanie
39
 Zadanie

40
 Zadanie

Założenie:

√11 - dana liczba rzeczywista


Teza:

√11 jest liczbą niewymierną


Dowód (nie wprost): 

Załóżmy, że liczba √11 jest liczbą wymierną. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istnieją liczby naturalne p, q, gdzie q≠0, dla których:

 

 

 

 

Otrzymana równość jest fałszywa, bo liczba naturalna 11٠q٠q ma w rozkładzie na czynniki nieparzystą liczbę 11, natomiast równa jej liczba p٠p w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę 11. Otrzymaliśmy sprzeczność z twierdzeniem "każde dwa rozkłady liczby naturalnej rozłożonej na czynniki pierwsze różnią się co najwyżej kolejnością czynników". Prawdziwe jest więc twierdzenie "liczba √11 jest liczbą niewymierną".

Komentarze
Informacje o książce
Wydawnictwo:
OE Pazdro
Rok wydania:
2019
Autorzy:
Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab
ISBN:
9788375941791
Inne książki z tej serii:
Autor rozwiązania
Magda
30391

Nauczyciel

Matematyk z wieloletnim doświadczeniem, Uwielbiam sport, przede wszystkim narciarstwo biegowe. W wolnym czasie podróżuję.