🎓 Wykaż, że √11 jest liczbą niewymierną. - Zadanie 40: Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019 - strona 73
Matematyka
Matematyka 1. Zakres podstawowy. Reforma 2019 (Zbiór zadań, OE Pazdro)

Wykaż, że √11 jest liczbą niewymierną.

35
 Zadanie
36
 Zadanie
37
 Zadanie
38
 Zadanie
39
 Zadanie

40
 Zadanie

Założenie:

√11 - dana liczba rzeczywista


Teza:

√11 jest liczbą niewymierną


Dowód (nie wprost): 

Załóżmy, że liczba √11 jest liczbą wymierną. Z definicji liczby wymiernej dodatniej istnieją liczby naturalne p, q, gdzie q≠0, dla których:

 

 

 

 

Otrzymana równość jest fałszywa, bo liczba naturalna 11٠q٠q ma w rozkładzie na czynniki nieparzystą liczbę 11, natomiast równa jej liczba p٠p w rozkładzie na czynniki pierwsze ma parzystą liczbę 11. Otrzymaliśmy sprzeczność z twierdzeniem "każde dwa rozkłady liczby naturalnej rozłożonej na czynniki pierwsze różnią się co najwyżej kolejnością czynników". Prawdziwe jest więc twierdzenie "liczba √11 jest liczbą niewymierną".

DYSKUSJA
klasa:
I liceum
Informacje
Autorzy: Marcin Kurczab, Elżbieta Kurczab
Wydawnictwo: OE Pazdro
Rok wydania:
ISBN: 9788375941791
Autor rozwiązania
user profile

Magda

14417

Nauczyciel

Matematyk z 22-letnim doświadczeniem, Uwielbia sport, przede wszystkim narciarstwo biegowe.

Wiedza
Zobacz także
Ostatnie 7 dni na Odrabiamy w liczbach...
ROZWIĄZALIŚMY3737ZADAŃ
zadania
wiadomości
ODPOWIEDZIELIŚMY NA6818WIADOMOŚCI
NAPISALIŚCIE426KOMENTARZY
komentarze
... i5845razy podziękowaliście
Autorom