Dwa trójkąty nazwiemy trójkątami przystającymi wtedy, gdy boki i kąty jednego z nich

są równe odpowiednim bokom i kątom drugiego.

Skorzystamy z następującej cechy przystawania trójkątów: 

(bkb) Jeżeli dwa boki i kąt między tymi bokami w jednym trójkącie są równe odpowiednio dwóm bokom

i kątowi między tymi bokami w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunkach poniżej:

Założenia:

$\Delta ABC-$  równoboczny

$\left|A{A}_1\right|=\left|B{B}_1\right|=\left|C{C}_1\right|=1$  

 

Teza:

$\Delta A_1{B}_1{C}_1-$  równoboczny

 

Dowód:

Kąty  $A_{1}A{B}_1,B_{1}B{C}_1,C_{1}C{A}_1$  to kąty zewnętrzne trójkąta równobocznego, więc są równe.

Zatem trójkąty  $A_{1}A{B}_1,B_{1}B{C}_1,C_{1}C{A}_1$  są przystające na podstawie cechy bkb.

Z przystawania tych trójkątów wynika, że  $\left|A_1{B}_1\right|=\left|A_1{C}_1\right|=\left|B_1{C}_1\right|,$  

czyli trójkąt  $\Delta A_1{B}_1{C}_1$  jest równoboczny, co należało dowieść.