$\text{a)}\{\begin{array}{l}\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{4}=3\\ x-2y=2\end{array}$  

Przekształcamy pierwsze równanie:

$\frac{x+y}{2}-\frac{x-y}{4}=3\mid \cdot 4$  

$2\left(x+y\right)-\left(x-y\right)=12$  

$2x+2y-x+y=12$  

$x+3y=12$  

$3y=-x+12\mid :3$  

$y=-\frac{1}{3}x+4$  

Przekształcamy drugie równanie:

$x-2y=2$  

$2y=x-2\mid :2$  

$y=\frac{1}{2}x-1$  

Rysujemy wykresy funkcji y=-1/3x+4 oraz y=1/2x-1 we wspólnym układzie współrzędnych. Wykres funkcji y=-1/3x+4 przechodzi przez punkty (0, 4) oraz (3, 3). Wykres funkcji y=1/2x-1 przechodzi przez punkty (0, -1) oraz (2, 0).

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb (6, 2).

---

$\text{b)}\{\begin{array}{l}\frac{y+2}{5}-\frac{2-x}{2}=2\\ \frac{1}{2}x+y=5\end{array}$  

Przekształcamy pierwsze równanie:

$\frac{y+2}{5}-\frac{2-x}{2}=2\mid \cdot 10$  

$2\left(y+2\right)-5\left(2-x\right)=20$  

$2y+4-10+5x=20$  

$2y+5x-6=20$  

$2y=-5x+26\mid :2$  

$y=-\frac{5}{2}x+13$  

Przekształcamy drugie równanie:

$\frac{1}{2}x+y=5$  

$y=-\frac{1}{2}x+5$  

Rysujemy wykresy funkcji y=-5/2x+13 oraz y=-1/2x+5 we wspólnym układzie współrzędnych. Wykres funkcji y=-5/2x+13 przechodzi przez punkty (4, 3) oraz (6, -2). Wykres funkcji y=-1/2x+5 przechodzi przez punkty (0, 5) oraz (2, 4).

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb (4, 3).

---

$\text{c)}\{\begin{array}{l}\frac{x-2y}{3}-\frac{x-y}{2}=1\\ \frac{x+2y}{2}-\frac{x+4y}{2}=2\end{array}$  

Przekształcamy pierwsze równanie:

$\frac{x-2y}{3}-\frac{x-y}{2}=1\mid \cdot 6$  

$2\left(x-2y\right)-3\left(x-y\right)=6$  

$2x-4y-3x+3y=6$  

$-x-y=6$  

$-y=x+6\mid \cdot \left(-1\right)$  

$y=-x-6$  

Przekształcamy drugie równanie:

$\frac{x+2y}{2}-\frac{x+4y}{2}=2\mid \cdot 2$  

$x+2y-\left(x+4y\right)=4$  

$x+2y-x-4y=4$  

$-2y=4\mid :\left(-2\right)$  

$y=-2$  

Rysujemy wykresy funkcji y=-x-6 oraz y=-2 we wspólnym układzie współrzędnych. Wykres funkcji y=-x-6 przechodzi przez punkty (-6, 0) oraz (0, -6). 

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb (-4, -2).

---

$\text{d)}\{\begin{array}{l}\frac{x+2}{3}-\frac{y-1}{2}=\frac{1}{6}\\ 2x-3y=-6\end{array}$  

Przekształcamy pierwsze równanie:

$\frac{x+2}{3}-\frac{y-1}{2}=\frac{1}{6}\mid \cdot 6$  

$2\left(x+2\right)-3\left(y-1\right)=1$  

$2x+4-3y+3=1$  

$2x-3y+7=1$  

$-3y=-2x-6\mid :\left(-3\right)$  

$y=\frac{2}{3}x+2$  

Przekształcamy drugie równanie:

$2x-3y=-6$  

$-3y=-2x-6\mid :\left(-3\right)$  

$y=\frac{2}{3}x+2$  

Po przekształceniu otrzymaliśmy, że pierwsze równanie ma taką samą postać jak drugie. Wynika stąd, że układ równań jest nieoznaczony - jego rozwiązaniem jest każda para liczb mająca postać (x; 2/3x+2), gdzie x ∈ R.

Narysujmy wykres funkcji w układzie współrzędnych. Przechodzi on przez punkty (0, 2) oraz (3, 4).

---

$\text{e)}\{\begin{array}{l}\frac{x+3y}{3}+\frac{x}{12}=\frac{x+1,5y}{3}\\ 2\left(x+2\right)=3x-2\end{array}$  

Przekształcamy pierwsze równanie:

$\frac{x+3y}{3}+\frac{x}{12}=\frac{x+1,5y}{3}\mid \cdot 12$  

$4\left(x+3y\right)+x=4\left(x+1,5y\right)$  

$4x+12y+x=4x+6y$  

$12y+x=6y$  

$6y=-x\mid :6$  

$y=-\frac{1}{6}x$  

Przekształcamy drugie równanie:

$2\left(x+2\right)=3x-2$  

$2x+4=3x-2$  

$6=x$  

$x=6$  

Rysujemy wykres funkcji y=-1/6x oraz prostą x=6 we wspólnym układzie współrzędnych. Wykres funkcji y=3/4x przechodzi przez punkty (0, 0) oraz (4, 3). 

Z wykresu odczytujemy, że rozwiązaniem układu równań jest para liczb (6, -1).

---

$\text{f)}\{\begin{array}{l}\frac{y-1}{2}-\frac{y+2}{3}=0\\ \frac{y-x}{2}-\frac{y+x}{4}=y-\frac{3}{4}x+1\end{array}$  

Przekształcamy pierwsze równanie:

$\frac{y-1}{2}-\frac{y+2}{3}=0\mid \cdot 6$  

$3\left(y-1\right)-2\left(y+2\right)=0$  

$3y-3-2y-4=0$  

$y=7$  

Przekształcamy drugie równanie:

$\frac{y-x}{2}-\frac{y+x}{4}=y-\frac{3}{4}x+1\mid \cdot 4$  

$2\left(y-x\right)-\left(y+x\right)=4y-3x+4$  

$2y-2x-y-x=4y-3x+4$  

$y-3x=4y-3x+4$  

$-3y=4\mid :\left(-3\right)$  

$y=-\frac{4}{3}$  

Rysujemy wykresy funkcji y=7 oraz y=-4/3 we wspólnym układzie współrzędnych.

Na podstawie narysowanych wykresów widzimy, że układ równań nie ma rozwiązań - narysowane proste są równoległe.