a)

Dany jest trójkąt taki jak na poniższym rysunku

Z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym ADC, dostajemy

1)

$\mathrm{ctg}{30}^{\circ }=\frac{\left|AD\right|}{4}$

Wiemy, że 

$\mathrm{ctg}{30}^{\circ }=\sqrt{3}$

podstawiając otrzymamy

$\sqrt{3}=\frac{\left|AD\right|}{4}\mid \cdot 4$

$\left|AD\right|=4\sqrt{3}\approx 6,93cm$  

2) 

$\sin {30}^{\circ }=\frac{4}{\left|AC\right|}$  

Wiemy, że

$\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$  

podstawiając otrzymujemy

$\frac{1}{2}=\frac{4}{\left|AC\right|}\text{|}\cdot 2\cdot \left|AC\right|$

$\left|AC\right|=8cm$

Z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym DBC, dostajemy

1) 

$\mathrm{ctg}{51}^{\circ }=\frac{\left|DB\right|}{4}$

odczytajmy wartość ctg 51° z tablic trygonometrycznych

$\mathrm{ctg}{51}^{\circ }\approx 0,810$

zatem dostajemy, że

$0,810=\frac{\left|DB\right|}{4}\mid \cdot 4$

$\left|DB\right|=3,24cm$

2)

$\sin {51}^{\circ }=\frac{4}{\left|BC\right|}$  

odczytajmy wartość sin 51° z tablic trygonometrycznych

$\sin {51}^{\circ }\approx 0,777$

zatem dostajemy, że

$0,777=\frac{4}{\left|BC\right|}\text{|}\cdot \left|BC\right|$

$0,777\cdot \left|BC\right|=4\mid :0,777$

$\left|BC\right|=\frac{4}{0,777}\approx 5,15cm$  

czyli obwód trójkąta ABC z dokładnością do 1 cm jest równy

$L=\left|AC\right|+\left|AD\right|+\left|DB\right|+\left|BC\right|=8+6,93+3,24+5,15=23,32\approx 23cm$  

---

b)

Dany jest trójkąt taki jak na poniższym rysunku

Zauważmy, że kąty ADC i CDB to kąty przyległe, zatem

$\left|\sphericalangle ADC\right|={180}^{\circ }-{105}^{\circ }={75}^{\circ }$  

Z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym ADC, dostajemy

1)

$\sin {75}^{\circ }=\frac{6}{\left|CD\right|}$  

odczytajmy wartość sin 75° z tablic trygonometrycznych

$\sin {75}^{\circ }\approx 0,966$

zatem dostajemy, że

$0966=\frac{6}{\left|CD\right|}\text{|}\cdot \left|CD\right|$

$0,966\cdot \left|CD\right|=6\mid :0,966$  

$\left|CD\right|=\frac{6}{0,966}\approx 6,21cm$  

2)

$\mathrm{ctg}{75}^{\circ }=\frac{\left|AD\right|}{6}$  

odczytajmy wartość ctg 75° z tablic trygonometrycznych

$\mathrm{ctg}{75}^{\circ }\approx 0,268$

zatem dostajemy, że

$0,268=\frac{\left|AD\right|}{6}\mid \cdot 6$

$\left|AD\right|=1,608\approx 1,61cm$   

Korzystając z faktu, że suma kątów w trójkącie jest równa 180º dostajemy, że

$\left|\sphericalangle ACD\right|={180}^{\circ }-\left({90}^{\circ }+{75}^{\circ }\right)={180}^{\circ }-{165}^{\circ }={15}^{\circ }$  

zatem

$\left|\sphericalangle ACB\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|+\left|\sphericalangle DCB\right|={15}^{\circ }+{35}^{\circ }={50}^{\circ }$  

Z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym ABC, dostajemy

1)

$\cos {50}^{\circ }=\frac{6}{\left|BC\right|}$

odczytajmy wartość cos 50° z tablic trygonometrycznych

$\cos {50}^{\circ }\approx 0,643$

zatem dostajemy, że

$0,643=\frac{6}{\left|BC\right|}\text{|}\cdot \left|BC\right|$  

$0,643\cdot \left|BC\right|=6\mid :0,643$

$\left|BC\right|=\frac{6}{0,643}\approx 9,33cm$   

2)

$\mathrm{tg}{50}^{\circ }=\frac{\left|AB\right|}{6}$  

odczytajmy wartość tg 50° z tablic trygonometrycznych

$\mathrm{tg}{50}^{\circ }\approx 1,192$

zatem dostajemy, że

$1,192=\frac{\left|AB\right|}{6}\mid \cdot 6$

$\left|AB\right|=7,152\approx 7,15cm$

czyli

$\left|DB\right|=\left|AB\right|-\left|AD\right|=7,15-1,61=5,54cm$    

stąd dostajemy, że obwód trójkąta BCD z dokładnością do 1 cm jest równy

$L=\left|DB\right|+\left|BC\right|+\left|CD\right|=5,54+9,33+6,21=21,08\approx 21cm$  

---

c)

Dany jest trójkąt taki jak na poniższym rysunku

Zauważmy, że po dorysowaniu wysokości CD otrzymamy dwa trójkąty prostokątne ADC i CDB. 

Z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym ADC otrzymamy

1)

$\cos {55}^{\circ }=\frac{\left|AD\right|}{20}$

 odczytajmy wartość cos 55° z tablic trygonometrycznych

$\cos {55}^{\circ }\approx 0,574$

zatem dostajemy, że

$0,574=\frac{\left|AD\right|}{20}\mid \cdot 20$

$\left|AD\right|=11,48cm$   

2)

$\mathrm{tg}{55}^{\circ }=\frac{\left|CD\right|}{11,48}$  

 odczytajmy wartość tg 55° z tablic trygonometrycznych

$\mathrm{tg}{55}^{\circ }\approx 1,428$

zatem dostajemy, że

$1,428=\frac{\left|CD\right|}{11,48}\mid \cdot 11,48$  

$\left|CD\right|=1,428\cdot 11,48\approx 16,39cm$  

Z określenia funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym CDB otrzymamy

1)

$\sin {65}^{\circ }=\frac{16,39}{\left|BC\right|}$

 odczytajmy wartość sin 65° z tablic trygonometrycznych

$\sin {65}^{\circ }\approx 0,906$

zatem dostajemy, że

$0,906=\frac{16,39}{\left|BC\right|}\text{|}\cdot \left|BC\right|$

$0,906\cdot \left|BC\right|=16,39\mid :0,906$

$\left|BC\right|=\frac{16,39}{0,906}\approx 18,09cm$   

2) 

$\mathrm{ctg}{65}^{\circ }=\frac{\left|DB\right|}{16,39}$  

 odczytajmy wartość ctg 65° z tablic trygonometrycznych

$\mathrm{ctg}{65}^{\circ }\approx 0,466$

zatem dostajemy, że

$0,466=\frac{\left|DB\right|}{16,39}\mid \cdot 16,39$  

$\left|DB\right|=0,466\cdot 16,39\approx 7,64cm$  

stąd dostajemy, że obwód trójkąta ABC z dokładnością do 1 cm jest równy

$L=\left|AC\right|+\left|AD\right|+\left|DB\right|+\left|BC\right|=20+11,48+7,64+18,09=57,21\approx 57cm$