a)

• Obliczamy długości przyprostokątnych dla x=1 cm:

$8\text{cm}-1\text{cm}=7\text{cm}$  

$2\text{cm}+1\text{cm}=3\text{cm}$  

Obliczamy pole trójkąta o przyprostokątnych 7 cm i 3 cm:

$P=\frac{1}{2}\cdot 7\text{cm}\cdot 3\text{cm}=\frac{1}{2}\cdot 21{\text{cm}}^2=10,5{\text{cm}}^2$  

• Obliczamy długości przyprostokątnych dla x=2 cm:

$8\text{cm}-2\text{cm}=6\text{cm}$  

$2\text{cm}+2\text{cm}=4\text{cm}$  

Obliczamy pole trójkąta o przyprostokątnych 6 cm i 4 cm:

$P=\frac{1}{2}\cdot 6\text{cm}\cdot 4\text{cm}=\frac{1}{2}\cdot 24{\text{cm}}^2=12{\text{cm}}^2$  

• Obliczamy długości przyprostokątnych dla x=4 cm:

$8\text{cm}-4\text{cm}=4\text{cm}$  

$2\text{cm}+4\text{cm}=6\text{cm}$  

Obliczamy pole trójkąta o przyprostokątnych 4 cm i 6 cm:

$P=\frac{1}{2}\cdot 4\text{cm}\cdot 6\text{cm}=\frac{1}{2}\cdot 24{\text{cm}}^2=12{\text{cm}}^2$  

• Obliczamy długości przyprostokątnych dla x=6 cm:

$8\text{cm}-6\text{cm}=2\text{cm}$  

$2\text{cm}+6\text{cm}=8\text{cm}$  

Obliczamy pole trójkąta o przyprostokątnych 2 cm i 8 cm:

$P=\frac{1}{2}\cdot 2\text{cm}\cdot 8\text{cm}=\frac{1}{2}\cdot 16{\text{cm}}^2=8{\text{cm}}^2$  

---

b) Rysunek pomocniczy:

Po wydłużeniu i skróceniu przyprostokątnych, przyprostokątne trójkąta mają długość (8-x) cm i (2+x) cm. 

Obliczamy pole trójkąta o takich wymiarach:

$P=\frac{1}{2}\left(8-x\right)\left(2+x\right)$  

Niewiadoma x wyraża długość, więc musi być liczbą dodatnią (x>0). Wyrażenie 8-x to długość boku trójkąta, więc musi być liczbą dodatnią (8-x>0, czyli x<8). Stąd: x ∈ (0, 8).

Zatem szukana funkcja to:

$P\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(8-x\right)\left(2+x\right),\text{gdzie}x\in \left(0,8\right)$  

---

c) Przekształcamy wzór funkcji P do postaci kanonicznej:

$P\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(8-x\right)\left(2+x\right)=\frac{1}{2}\left(16+8x-2x-x^2\right)=\frac{1}{2}\left(-x^2+6x+16\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x-16\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x+\underset{-16}{\underbrace{9-25}}\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2-6x+9\right)-\frac{1}{2}\cdot \left(-25\right)=-0,5{\left(x-3\right)}^2+12,5$  

Wzór funkcji P w postaci kanonicznej:

$P\left(x\right)=-0,5{\left(x-3\right)}^2+12,5,\text{gdzie}x\in \left(0,8\right)$  

Obliczamy kilka punktów należących do wykresu funkcji P(x)=-0,5(x-3)²+12,5 i przedstawiamy je w tabeli, pamiętając o dziedzinie funkcji. Obliczymy też wartości funkcji na końcach przedziału, które nie należą do dziedziny.

x	0	2	3	4	6	8
y=-0,5(x-3)2+12,5	8	12	12,5	12	8	0

 

Rysujemy wykres funkcji y=P(x) w dziedzinie (0, 8):

---

d) Pole trójkąta jest największe, gdy funkcja y=P(x) przyjmuje największą wartość.

Z wykresu odczytujemy, że funkcja y=P(x) przyjmuje największą wartość dla argumentu x=3 i ta wartość jest równa 12,5, czyli trójkąt po zmianie boków może mieć największe pole równe 12,5 cm² dla x=3 cm.