Rozszyfruj działanie. Jednakowe symbole...- Zadanie 14: Matematyka z kluczem 6. Podręcznik cz. 1. Nowa edycja 2025–2027

Rozwiązanie

$☐ \frac{△}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯} = \frac{△ ◯}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯} = △$

Popatrzmy na fragment zaznaczony na czerwono:

$☐ \frac{△}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯} = \frac{△ ◯}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯} = △$

Widzimy, że możemy skrócić ten iloczyn:

$\frac{△ ◯ ^{1}}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯ _{1}} = \frac{1}{☐ _{1}} \cdot \frac{☐ ^{1}}{1} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = 1$

Możemy zatem zapisać:

$☐ \frac{△}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯} = 1$

Czyli:

$☐ \frac{△}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯} = 1 = △$

Z tego wynika, że:

$△ = 1$

Wstawmy 1 za $△$ do naszego działania:

$☐ \frac{1}{☐} \cdot \frac{☐}{1 \cdot ◯} = 1 = △$

Popatrzmy część działania zaznaczoną na niebiesko:

$☐ \frac{△}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯} = = 1 \frac{△ ◯}{☐} \cdot \frac{☐}{△ ◯} = △$

i wstawmy do niej $1$ za $△$ . Wtedy:

$☐ \frac{1}{☐} \cdot \frac{☐}{◯} = 1$

Zamieńmy liczbę mieszaną po lewej stronie na ułamek niewłaściwy oraz skróćmy mianownik pierwszego ułamka z licznikiem drugiego ułamka:

$\frac{☐ \cdot ☐ + 1}{☐ _{1}} \cdot \frac{☐ ^{1}}{◯} = 1$

$\frac{☐ \cdot ☐ + 1}{◯} = 1$

Wyrażenie w mianowniku musi mieć taką samą wartość jak wyrażenie w liczniku - w przeciwnym razie nie damy rady skrócić tego ułamka tak, żeby dostać $1$ . Możemy zatem wnioskować, że:

$☐ \cdot ☐ + 1 = ◯$

Wiemy, że nasze symbole oznaczają cyfry - czyli mogą przyjmować wartości $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ lub $9$ (nie mogą przyjąć wartości $0$ , ponieważ $0$ nie może być mianownikiem ułamka). Wiemy również, że $△ = 1$ , zatem zgodnie z treścią zadania, pozostałe symbole nie mogą już przyjmować tej wartości.

Załóżmy, że $☐ = 2$ , wtedy:

$☐ \cdot ☐ + 1 = 2 \cdot 2 + 1 = 5, czyli wtedy ◯ = 5$

Załóżmy, że $☐ = 3$ , wtedy:

$☐ \cdot ☐ + 1 = 3 \cdot 3 + 1 = 9 + 1 = 10, czyli wtedy ◯ = 10$

Nasze symbole oznaczają cyfry, więc kółko nie może oznaczać $10$ , zatem ta opcja odpada. Z tego wynika, że $☐$ nie może przyjmować wartości większej niż $2$ (bo po wstawieniu za $☐$ liczby większej niż $2$ wyrażenie przyjmie wartość większą niż $10$ ).

Zatem nasze symbole oznaczają liczby:

$☐ = 2$

$◯ = 5$

$△ = 1$

$\frac{1}{1 ☐} \cdot ☐ \frac{☐}{△} = \frac{1}{1 ☐} \cdot \frac{1 ☐}{△} = \frac{1}{△}$

Popatrzmy na fragment zaznaczony na czerwono:

$\frac{1}{1 ☐} \cdot ☐ \frac{☐}{△} = \frac{1}{1 ☐} \cdot \frac{1 ☐}{△} = \frac{1}{△}$

Możemy skrócić mianownik jedno ułamka z licznikiem drugiego ułamka:

$\frac{1}{1 ☐ 1} \cdot \frac{1 ☐ 1}{△} = \frac{1}{△}$

Możemy zatem zapisać, że:

$\frac{1}{1 ☐} \cdot ☐ \frac{☐}{△} = \frac{1}{△} = \frac{1}{△}$

Popatrzmy na fragment zaznaczony na niebiesko:

$\frac{1}{1 ☐} \cdot ☐ \frac{☐}{△} = = \frac{1}{△} \frac{1}{1 ☐} \cdot \frac{1 ☐}{△} = \frac{1}{△}$

Zamieńmy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy:

$\frac{1}{1 ☐} \cdot ☐ \frac{☐}{△} = \frac{1}{1 ☐} \cdot \frac{☐ \cdot △ + ☐}{△} = \frac{☐ \cdot △ + ☐}{1 ☐ \cdot △}$

Możemy więc zapisać:

$\frac{☐ \cdot △ + ☐}{1 ☐ \cdot △} = = \frac{1}{△} \frac{1}{1 ☐} \cdot \frac{1 ☐}{△} = \frac{1}{△}$

Czyli w skrócie:

$\frac{☐ \cdot △ + ☐}{1 ☐ \cdot △} = \frac{1}{△}$

Widzimy, że w mianowniku po prawej stronie mamy $△$ , a w mianowniku po lewej stronie mamy $△$ przemnożony przez $1☐$ . Rozszerzmy ułamek po prawej stronie, mnożąc licznik i mianownik przez $1☐$ :

$\frac{☐ \cdot △ + ☐}{1 ☐ \cdot △} = \frac{1 ☐ \cdot 1}{1 ☐ \cdot △} = \frac{1}{△}$