$\text{a)}y=4x^2+6x+3$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=4,b=6,c=3$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac=6^2-4\cdot 4\cdot 3=36-48=-12$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot 4}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-12}{4\cdot 4}=\frac{12}{16}=\frac{3}{4}$  

Otrzymujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych $W\left(-\frac{3}{4},\frac{3}{4}\right).$  

Podajemy równanie paraboli w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y=4{\left(x+\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{3}{4}$  

---

$\text{b)}y=-2x^2+4x+1$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=-2,b=4,c=1$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac=4^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 1=16+8=24$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-4}{-4}=1$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{24}{4\cdot \left(-2\right)}=\frac{-24}{-8}=3$  

Otrzymujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych W(1, 3).

Podajemy równanie paraboli w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y=-2{\left(x-1\right)}^2+3$  

---

$\text{c)}y=\frac{1}{2}{x}^2-x+1$  

Odczytujemy współczynniki trójmianu:

$a=\frac{1}{2},b=-1,c=1$  

Obliczamy wyróżnik Δ:

$\Delta =b^2-4ac={\left(-1\right)}^2-4\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=1-2=-1$  

Obliczamy współrzędne wierzchołka paraboli:

$x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{1}=1$  

$y_w=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-1}{4\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$  

Otrzymujemy, że wierzchołkiem paraboli jest punkt o współrzędnych $W\left(1,\frac{1}{2}\right).$  

Podajemy równanie paraboli w postaci kanonicznej, pamiętając o współczynniku a:

$y=\frac{1}{2}{\left(x-1\right)}^2+\frac{1}{2}$