a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

• Półprosta AP jest dwusieczną kąta BAC, więc kąty BAP i PAC mają równe miary.
• Z sumy kątów trójkąta wynika, że kąty EPA i APD również mają równe miary.
• Trójkąty ADP i AEP mają wspólną przeciwprostokątną AP.

Z powyższych wniosków wynika, że trójkąty ADP i AEP są przystające na podstawie cechy KBK (kąt - bok - kąt). Z przystawania tych trójkątów |PD|=|PE|, czyli punkt P jest równo odległy od ramion kąta.

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

 

Wiemy, że dowolne dwie proste przecinają się w jednym punkcie. Stąd dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i B przecinają się w punkcie S.

Dowolny punkt leżący na dwusiecznej kąta jest równo oddalony od ramion tego kąta. Stąd:

$\left|DS\right|=\left|FS\right|$  

$\left|DS\right|=\left|ES\right|$  

Zatem zachodzi równość:

$\left|DS\right|=\left|ES\right|=\left|FS\right|$  

Z powyższej równości w szczególności wynika, że |ES|=|FS|, czyli punkt S jest równo oddalony od boków AC i BC, czyli od ramion kąta przy wierzchołku C. Oznacza to, że punkt S należy do dwusiecznej kąta przy wierzchołku C, co kończy dowód.