Wyznaczmy równanie kierunkowe prostej l.

$x-5y-30=0$  

$x-30=5y\mid :5$  

$\frac{1}{5}x-6=y$  

Środek okręgu leży na prostej l, zatem jest postaci

$S\left(x,\frac{1}{5}x-6\right)$  

 

Wyznaczmy punkty wspólne prostej k i paraboli.

$\{\begin{array}{l}x-y-1=0\\ y=x^2-6x+5\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x-1=y\\ x-1=x^2-6x+5\end{array}$  

Rozwiązując drugie równanie otrzymujemy:

$0=x^2-7x+6$  

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$  

$x_1=\frac{7-5}{2}=\frac{2}{2}=1$  

$x_2=\frac{7+5}{2}=\frac{12}{2}=6$  

Punkty wspólne prostej k i paraboli to:

$A\left(1,0\right),B\left(6,5\right)$  

Odległość punktu A od punktu S jest taka sama jak odległość punktu B od punktu S, zatem otrzymujemy:

$\left|AS\right|=\left|BS\right|$  

$\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}x-6\right)}^2}={\left(x-6\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}x-6-5\right)}^2){\mid }^2$  

${\left(x-1\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}x-6\right)}^2={\left(x-6\right)}^2+{\left(\frac{1}{5}x-11\right)}^2$  

$x^2-2x+1+\frac{1}{25}{x}^2-\frac{12}{5}x+36=x^2-12x+36+\frac{1}{25}{x}^2-\frac{22}{5}x+121\mid -x^2-\frac{1}{25}{x}^2-36$  

$-2x+1-\frac{12}{5}x=-12x-\frac{22}{5}x+121\mid +12x+\frac{22}{5}x-1$  

$10x+\frac{10}{5}x=120$  

$12x=120\mid :12$  

$x=10$  

Wyznaczmy drugą współrzędną środka tego okręgu.

$y=\frac{1}{5}x-6$  

$y=\frac{1}{5}\cdot 10-6$  

$y=2-6$  

$y=-4$  

$S\left(10,-4\right)$  

 

Wyznaczmy promień tego okręgu.

$r=\left|AS\right|=\sqrt{{\left(10-1\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}=\sqrt{81+16}=\sqrt{97}$  

Równanie tego okręgu:

${\left(x-10\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=97$  

 

Wyznaczmy pole trójkąta równobocznego opisanego na tym okręgu. Zauważmy, że promień otrzymanego okręgu jest promieniem okręgu wpisanego w szukany trójkąt.

$R=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

Zatem otrzymujemy:

$\sqrt{97}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\mid \cdot \frac{6}{\sqrt{3}}$  

$\frac{6\sqrt{97}}{\sqrt{3}}=a$  

$\frac{6\sqrt{97}\cdot \sqrt{3}}{3}=a$  

$2\sqrt{291}=a$  

$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(2\sqrt{291}\right)}^2\cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{4\cdot 291\sqrt{3}}{4}=291\sqrt{3}$