Wyznaczmy współczynnik a prostej AB i prostej BC.
aAB=x−4y+2
aBC=0−x8−y
Z warunku prostopadłości otrzymujemy:
x−4y+2⋅−x8−y=−1
(y+2)(8−y)=x(x−4)
8y−y2+16−2y=x2−4x
−y2+6y+16=x2−4x
y2−6y−16=−x2+4x (*)
Obliczmy długość boku AC.
∣AC∣=(0−4)2+(8+2)2=(−4)2+102=16+100=116=229
Wyznaczmy wysokość tego trójkąta poprowadzoną na bok AC.
PABC=21⋅∣AC∣⋅h
20=21⋅229⋅h ∣:29
2920=h
Zatem odległość punktu B od prostej AC wynosi h.
Wyznaczmy prostą przechodzącą przez punkty AC.
aAC=xc−xayc−ya=0−48+2=−410=−25
y=−25x+b
Podstawiając współrzędne punktu C otrzymujemy:
8=−25⋅0+b
8=b
y=−25x+8
W postaci ogólnej:
2y=−5x+16
5x+2y−16=0
d(B,AC)=52+22∣5x+2y−16∣
2920=25+4∣5x+2y−16∣ ∣⋅29
20=∣5x+2y−16∣
Przypadek I.
20=5x+2y−16 ∣−20
0=5x+2y−36
−2y=5x−36 ∣:(−2)
y=−25x+18
Podstawiając do równania (*) otrzymujemy:
y2−6y−16=−x2+4x
(−25x+18)2−6⋅(−25x+18)−16=−x2+4x
425x2−2⋅25x⋅18+324+230x−108−16=−x2+4x
425x2−90x+324+15x−108−16+x2−4x=0
429x2−79x+200=0
Δ=(−79)2−4⋅429⋅200=6241−5800=441
Δ=21
x1=2⋅42979−21=22958=58⋅292=4
x2=2⋅42979+21=100⋅292=29200=62926
{x1=4y1=−25x+18
{x1=4y1=8
B1=(4,8)
lub
{x2=62926y2=−25⋅29200+18
{x2=62926y2=−29500+29522
{x2=62926y2=2922
B2=(62926,2922)
Przypadek II.
20=−5x−2y+16 ∣−20
0=−5x−2y−4
2y=−5x−4 ∣:2
y=−25x−2
Podstawiając do równania (*) otrzymujemy:
y2−6y−16=−x2+4x
(−25x−2)2−6(−25x−2)−16=−x2+4x
(25x+2)2+230x+12−16=−x2+4x
425x2+2⋅25⋅2x+4+15x−4+x2−4x=0
429x2+10x+15x−4x=0
429x2+21x=0
x(429x+21)=0
x=0 ∨ 429x+21=0
x=0 ∨ 429x=−21
x=0 ∨ x=−21⋅294
x=0 ∨ x=−2984
x1=0 ∨ x2=−22926
{x1=0y1=−25x−2
{x1=0y1=−2
B3=(0,−2)
lub
{x2=−22926y2=−25⋅(−2984)−2
{x2=−22926y2=58420−58116
{x2=−22926y2=58304
{x2=−22926y2=29152
{x2=−22926y2=5297
B4=(−22926,5297)
