a) 11 osób możemy usadzić na 11 miejscach na

$\overline{\overline{\Omega }}=11!$   

sposobów, dalej skoro dyrektor ma usiąść na środkowym krześle to usadzimy go na 1 sposób, pozostałych dowolnie czyli na 10! sposobów. 

W sumie więc mamy

$10!\cdot 1=10!$  

możliwości.  

Zatem prawdopodobieństwo, że dyrektor usiądzie na środkowym krześle wynosi

$p=\frac{10!}{11!}=\frac{10!}{10!\cdot 11}=\frac{1}{11}$  

---

 

b) 11 osób możemy usadzić na 11 miejscach na

$\overline{\overline{\Omega }}=11!$  

Trzy sąsiednie miejsca, na których usiądą dyrektor i dwóch chłopców z delegacji możemy wybrać na 9 sposobów. Jeżeli miejsca są już ustalone to dyrektora zawsze usadzamy na jeden sposób (na środku), a na pozostałe dwa miejsca wybieramy dwóch z trzech chłopców, pamiętając o tym, że możemy ich między sobą zamienić miejscami. Pozostałe 8 osób usadzamy zupełnie dowolnie, czyli na 8! sposobów. W sumie dostajemy

$9\cdot 1\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\cdot 2\cdot 8!=9\cdot \frac{3!}{2!}\cdot 2\cdot 8!=9\cdot \frac{3\cdot 2!}{2!}\cdot 2\cdot 8!=54\cdot 8!$  

możliwości. Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe

$p=\frac{54\cdot 8!}{11!}=\frac{54\cdot 8!}{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8!}=\frac{6}{110}=\frac{3}{55}$  

---

c) 

11 osób możemy usadzić na 11 miejscach na

$\overline{\overline{\Omega }}=11!$  

Trzy sąsiednie miejsca, na których usiądą dyrektor, chłopiec i dziewczyna z delegacji możemy wybrać na 9 sposobów. Jeżeli miejsca są już ustalone to dyrektora zawsze usadzamy na jeden sposób (na środku), dziewczynę z delegacji usadzimy na 1 sposób (po prawej stronie dyrektora), na miejsce po lewej stronie dyrektora wybieramy jednego chłopca z trzech. Pozostałe 8 osób usadzamy zupełnie dowolnie, czyli na 8! sposobów. W sumie dostajemy

$9\cdot 1\cdot 1\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\cdot 8!=9\cdot \frac{3!}{2!}\cdot 8!=9\cdot \frac{3\cdot 2!}{2!}\cdot 8!=9\cdot 3\cdot 8!=27\cdot 8!$  

możliwości. Zatem prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest równe

$p=\frac{27\cdot 8!}{11!}=\frac{27\cdot 8!}{11\cdot 10\cdot 9\cdot 8!}=\frac{3}{110}$