Jeżeli a_k-1, a_k, a_k+1 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to:   

${\left(a_k\right)}^2=a_{k-1}\cdot a_{k+1}$  

 

Zatem:

${\left(3\cdot 5^{n+1}\right)}^2=3\cdot 5^{n-1+1}\cdot 3\cdot 5^{n+1+1}$  

$9\cdot {\left(5^{n+1}\right)}^2=9\cdot 5^n\cdot 5^{n+2}\mid :9$  

$5^{\left(n+1\right)\cdot 2}=5^n\cdot 5^{n+2}$  

$5^{2n+2}=5^{n+n+2}$  

$5^{2n+2}=5^{2n+2}$  

Zatem ciąg (a_n) jest ciągiem geometrycznym.