a)

$a_n=\frac{5}{4}n-4,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Należy rozwiązać nierówność:

$-5<\frac{5}{4}n-4<7$  

$-1<\frac{5}{4}n<11$  

$-4<5n<44$  

$-\frac{4}{5}<n<\frac{44}{5}\wedge n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

$n\in \left\{1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$  

---

b)

$a_n=n^2+6n-16,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

Należy rozwiązać nierówność. 

$-5<n^2+6n-16<7$  

 

1)

$-5<n^2+6n-16\mid +5$  

$0<n^2+6n-11$  

$\Delta =6^2-4\cdot 1\cdot \left(-11\right)=36+44=80$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$  

$n_1=\frac{-6-4\sqrt{5}}{2}=-3-2\sqrt{5}\approx -7,5$  

$n_2=\frac{-6+4\sqrt{5}}{2}=-3+2\sqrt{5}\approx 1,5$  

Zatem rozwiązanie tej nierówności w zbiorze liczb naturalnych dodatnich to:

$n\in \left\{2,3,4,5,6,\dots \right\}$  

 

2)

$n^2+6n-16<7\mid -7$  

$n^2+6n-23<0$  

$\Delta =6^2-4\cdot 1\cdot \left(-23\right)=36+92=128$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot 2}=8\sqrt{2}$  

$n_1=\frac{-6-8\sqrt{2}}{2}=-3-4\sqrt{2}\approx -8,7$  

$n_2=\frac{-6+8\sqrt{2}}{2}=-3+4\sqrt{2}\approx 2,7$  

Zatem rozwiązanie tej nierówności w zbiorze liczb naturalnych dodatnich to:

$n\in \left\{1,2\right\}$  

 

Zatem ostatecznie otrzymujemy:

$\left(n\in \left\{2,3,4,5,6,\dots \right\}\right)\wedge \left(n\in \left\{1,2\right\}\right)$  

$n=2$