a) 

$\underset{\ge 0}{\underbrace{x^4}}+1=0$  

Równanie nie ma rozwiązań, ponieważ suma liczby nieujemnej i liczby  $1$  nie może być równa  $0$ .

---

b) 

$x^2-2=0$  

Równanie ma dwa rozwiązania:

$\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0$  

$x=\sqrt{2}\vee x=-\sqrt{2}$  

---

c) 

$\underset{\ge 0}{\underbrace{3x^2}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{x^4}}=0$  

Jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba  $0$ .

---

d) 

$\underset{\ge 0}{\underbrace{3x^2}}+\underset{\ge 0}{\underbrace{4x^8}}+2=0$  

Równanie nie ma rozwiązań, ponieważ suma dwóch liczb nieujemnych i liczby  $2$  nie może być równa  $0$ .

---

e) 

$\underset{\ge 0}{\underbrace{{\left(3x-4\right)}^6}}+5=0$  

Równanie nie ma rozwiązań, ponieważ suma liczby nieujemnej i liczby  $5$  nie może być równa  $0$ .

---

f) 

$2\left(x^2-7\right)=-4$  

Równanie ma dwa rozwiązania:

$x^2-7=-2$  

$x^2-5=0$  

$(x-\sqrt{5}\left(x+\sqrt{5}\right)=0$  

$x=\sqrt{5}\vee x=-\sqrt{5}$  

---

g)  

${\left(x^2+4\right)}^3=-8$  

${\left(\underset{>0}{\underbrace{x^2+4}}\right)}^3=\underset{3}{\underbrace{-2}}$  

Równanie nie ma rozwiązań, ponieważ sześcian sumy liczby nieujemnej i liczby  $4$  nie może być równy ujemny.

---

h) 

${\left(x^2-7\right)}^5+1=0$  

Równanie ma dwa rozwiązania:

${\left(x^2-7\right)}^5=-1$  

${\left(x^2-7\right)}^5={\left(-1\right)}^5$  

Porównujemy podstawy potęg:

$x^2-7=-1$  

$x^2-6=0$  

$(x-\sqrt{6}\left(x+\sqrt{6}\right)=0$  

$x=\sqrt{6}\vee x=-\sqrt{6}$  

---

i) 

${\left(x-1\right)}^2={\left(x-1\right)}^4$  

${\left(x-1\right)}^2={\left({\left(x-1\right)}^2\right)}^2$  

Podstawiamy zmienną pomocniczą:

$t={\left(x-1\right)}^2$  

Rozwiązujemy równanie:

$t=t^2$  

$t^2-t=0$  

$t\left(t-1\right)=0$  

$t=0\vee t-1=0$  

$t=0\vee t=1$  

Czyli:

${\left(x-1\right)}^2=0\vee {\left(x-1\right)}^2=1$  

$x-1=0\vee {\left(x-1\right)}^2-1=0$  

$x=1\vee \left(\left(x-1\right)-1\right)\left(\left(x-1\right)+1\right)=0$  

$x=1\vee \left(x-2\right)x=0$  

$x=1\vee x-2=0\vee x=0$  

$x=1\vee x=2\vee x=0$