Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Trójkąty ABN i MDN są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.

Skala podobieństwa tych trójkątów jest równa:

$k=\frac{\left|AB\right|}{\left|DM\right|}=\frac{a}{\frac{1}{2}a}=2$  

Wysokości tych trójkątów oznaczmy następująco:

Pole trójkąta ABN jest równe:

$P_{ABN}=\frac{\left|AB\right|\cdot 2x}{2}=\frac{a\cdot 2x}{2}=ax$  

Wysokość równoległoboku ABCD jest równa:

$h=2x+x=3x$  

Jego pole wynosi:

$P_{ABCD}=a\cdot h=a\cdot 3x=3ax$  

Zatem:

$\frac{P_{ABN}}{P_{ABCD}}=\frac{ax}{3ax}=\frac{1}{3}$