Przyjmijmy następujące oznaczenia: 

---

Trójkąty AEC i DEB są do siebie podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.

$\alpha$  - kąty wierzchołkowe

$\beta$  - kąty naprzemianległe

$\gamma$  - kąty naprzemianległe

---

Zauważmy, że trójkąty FBE i ABC są podobne (cecha kkk).

---

Zauważmy, że trójkąty FAE i BAD są podobne (cecha kkk).

---

Dla ułatwienia przyjmijmy następujące oznaczenia:

---

Z podobieństwa trójkątów FAE i BAD otrzymujemy:

$\frac{c}{b}=\frac{y}{x}$   

Z podobieństwa trójkątów FBE i ABC otrzymujemy:

$\frac{c}{a}=\frac{x-y}{x}$  

Mamy więc:

$\frac{c}{a}=\frac{x}{x}-\frac{y}{x}$  

$\frac{c}{a}=1-\frac{c}{b}$  

$\frac{c}{a}=\frac{c}{c}-\frac{c}{b}\mid :c$  

$\frac{1}{a}=\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\mid +\frac{1}{b}$  

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$