Wykonajmy rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy, że:

$A=\left(\frac{a}{b},\frac{c}{d}\right)$   

$\text{NWD}\left(a,b\right)=1,\text{NWD}\left(c,d\right)=1$   

Punkty B, C i D powstały przez przesunięcie punktu A o odpowiedni wektor. Mamy więc:

$B=\left(\frac{a}{b}+p,\frac{c}{d}+q\right)$  

$C=\left(\frac{a}{b}+p+u,\frac{c}{d}+q+v\right)$  

$D=\left(\frac{a}{b}+u,\frac{c}{d}+v\right)$  

Przekątne w równoległoboku przecinają się w jednym punkcie i połowią się. Punkt ten jest środkiem odcinków AC i BD. Wyznaczamy jego współrzędne.

$S=\left(\frac{x_A+x_C}{2},\frac{y_A+y_C}{2}\right)$  

$S=\left(\frac{\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+p+u}{2},\frac{\frac{c}{d}+\frac{c}{d}+q+v}{2}\right)$  

$S=\left(\frac{\frac{2a}{b}+p+u}{2},\frac{\frac{2c}{d}+q+v}{2}\right)$  

$S=\left(\frac{\frac{2a}{b}}{2}+\frac{p+u}{2},\frac{\frac{2c}{d}}{2}+\frac{q+v}{2}\right)$  

$S=\left(\frac{2a}{b}\cdot \frac{1}{2}+\frac{p+u}{2},\frac{2c}{d}\cdot \frac{1}{2}+\frac{q+v}{2}\right)$  

$S=\left(\frac{a}{b}+\frac{p+u}{2},\frac{c}{d}+\frac{q+v}{2}\right)$  

Suma dwóch liczb wymiernych jest wymierna, więc współrzędne punktu S również są wymierne.