a)

$\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(-x+1\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-2\right)}}\ge 0$  

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f\left(x\right)$ .

$0=-x+1$  

$x=1$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g\left(x\right)$ .

$0=x^2-2$  

$x^2=2$  

$x=-\sqrt{2}\vee x=\sqrt{2}$  

Szkicujemy wykresy funkcji:

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in (-\infty ,-\sqrt{2}⟩\cup ⟨1,\sqrt{2}⟩$  

---

b)

$\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(2-3x\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(-3x^2-4x-2\right)}}<0$  

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f\left(x\right)$ .

$0=2-3x$  

$2=3x$  

$x=\frac{2}{3}$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g\left(x\right)$ .

$0=-3x^2-4x-2$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-2\right)=16-24<0$  - funkcja nie ma pierwiastków.

Szkicujemy wykresy funkcji:

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in \left(-\infty ,\frac{2}{3}\right)$  

---

c)

$\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(-5x\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-2x-1\right)}}\ge 0$  

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f\left(x\right)$ .

$0=-5x$  

$x=0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g\left(x\right)$ .

$0=x^2-2x-1$  

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-1\right)=4+4=8$  

$x_1=\frac{-\left(-2\right)-\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}=1-\sqrt{2}$  

$x_2=\frac{-\left(-2\right)+\sqrt{8}}{2\cdot 1}=\frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}$  

Szkicujemy wykresy funkcji:

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in (-\infty ,1-\sqrt{2}⟩\cup ⟨1,1+\sqrt{2}⟩$  

---

d)

$\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(3-x\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2+8x+16\right)}}\le 0$  

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji $f\left(x\right)$ .

$0=3-x$  

$x=3$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g\left(x\right)$ .

$0=x^2+8x+16$  

$\Delta =8^2-4\cdot 1\cdot 16=64-64=0$  

$x_1=x_2=\frac{-8}{2\cdot 1}=\frac{-8}{2}=-4$  

Szkicujemy wykresy funkcji:

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in \left\{-4\right\}\cup ⟨3,+\infty )$  

---

e)

$\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-3x-10\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-5x\right)}}\le 0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)$ .

$0=x^2-3x-10$  

$\Delta ={\left(-3\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-10\right)=9+40=49$  

$x_1=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g\left(x\right)$ .

$0=x^2-5x$  

$0=x\left(x-5\right)$  

$x=0\vee x=5$  

Szkicujemy wykresy funkcji:

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in ⟨-2,0⟩\cup \left\{5\right\}$  

---

f)

$\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-10\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(3x^2-20\right)}}\ge 0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)$ .

$0=x^2-10$  

$x=-\sqrt{10}\vee x\sqrt{10}$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g\left(x\right)$ .

$0=3x^2-20$  

$3x^2=20$  

$x^2=\frac{20}{3}$  

$x=-\sqrt{\frac{20}{3}}\vee \sqrt{\frac{20}{3}}$  

Szkicujemy wykresy funkcji:

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in \left(\sqrt{10},-\sqrt{\frac{20}{3}}\right)\cup \left(\sqrt{\frac{20}{3}},\sqrt{10}\right)$  

---

g) 

$\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-x\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(-x^2+2x+11\right)}}\ge 0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)$ .

$0=x^2-x$  

$x=x\left(x-1\right)$  

$x=0\vee x=1$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g\left(x\right)$ .

$0=-x^2+2x+11$  

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 11=4+44=48$  

$x_1=\frac{-2-\sqrt{48}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2-4\sqrt{3}}{-2}=1+2\sqrt{3}$  

$x_2=\frac{-2+\sqrt{48}}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-2+4\sqrt{3}}{-2}=1-2\sqrt{3}$  

Szkicujemy wykresy funkcji:

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in (-\infty ,1-2\sqrt{2}⟩\cup ⟨0,1⟩\cup ⟨1+2\sqrt{3},+\infty )$  

---

h)

$\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2-4x-5\right)}}\underset{g\left(x\right)}{\underbrace{\left(x^2+3x-4\right)}}\ge 0$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)$ .

$0=x^2-4x-5$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-5\right)=16+20=36$  

$x_1=\frac{-\left(-4\right)-\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

$x_2=\frac{-\left(-4\right)+\sqrt{36}}{2\cdot 1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}{2}=5$  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji $g\left(x\right)$ .

$0=x^2+3x-4$  

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25$  

$x_1=\frac{-3-\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-3-5}{2}=\frac{-8}{2}=-4$  

$x_2=\frac{-3+\sqrt{25}}{2\cdot 1}=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$  

Szkicujemy wykresy funkcji:

Nierówność jest spełniona dla:

$x\in \left(-\infty ,-4\right)\cup \left(-1,1\right)\cup \left(5,+\infty \right)$