Znajdź wszystkie wymierne ...- Zadanie 2: Matematyka 2. Zakres rozszerzony. Po gimnazjum

Rozwiązanie

Zgodnie z twierdzeniem o rozwiązaniach wymiernych, jeżeli rozwiązaniem równania jest liczba wymierna, to można ją przedstawić w postaci ułamka, którego licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik - dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 2$

Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$10 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 7 \cdot 1 - 2 = 10 - 1 - 7 - 2 = 0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$10$	$- 1$	$- 7$	$- 2$
$1$	$10$	$9$	$2$	$0$

Mamy więc:

$10 x^{3} - x^{2} - 7 x - 2 = (x - 1) (10 x^{2} + 9 x + 2)$

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu (o ile istnieją).

$Δ = 9^{2} - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$

$x_{1} = \frac{- 9 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{- 9 - 1}{20} = \frac{- 10}{20} = - \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{- 9 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{- 9 + 1}{20} = \frac{- 8}{20} = - \frac{2}{5}$

Zatem:

$x \in {- \frac{1}{2}, - \frac{2}{5}, 1}$

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1$

Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$- 12 \cdot 1^{3} - 11 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 1 = - 12 - 11 + 2 + 1 = - 20 \neq = 0$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 1$ otrzymujemy:

$- 12 \cdot (- 1)^{3} - 11 \cdot (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) + 1 = 12 - 11 - 2 + 1 = 0$

Liczba $- 1$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$- 12$	$- 11$	$2$	$1$
$- 1$	$- 12$	$1$	$1$	$0$

Mamy więc:

$- 12 x^{3} - 11 x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1) (- 12 x^{2} + x + 1)$

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu (o ile istnieją).

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot (- 12) \cdot 1 = 1 + 48 = 49$

$x_{1} = \frac{- 1 - 49}{2 \cdot ( - 12 )} = \frac{- 1 - 7}{- 24} = \frac{- 8}{- 24} = \frac{1}{3}$

$x_{2} = \frac{- 1 + 49}{2 \cdot ( - 12 )} = \frac{- 1 + 7}{- 24} = \frac{6}{- 24} = - \frac{1}{4}$

Zatem:

$x \in {- 1, - \frac{1}{4}, \frac{1}{3}}$

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 7$

Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$2 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 7 = 2 + 5 - 5 + 7 = 9 \neq = 0$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 1$ otrzymujemy:

$2 \cdot (- 1)^{3} + 5 \cdot (- 1)^{2} - 5 \cdot (- 1) + 7 = - 2 + 5 + 5 + 7 = 15 \neq = 0$

Liczba $- 1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = 7$ otrzymujemy:

$2 \cdot 7^{3} + 5 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + 7 = 686 + 245 - 35 + 7 = 903 \neq = 0$

Liczba $7$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 7$ otrzymujemy:

$2 \cdot (- 7)^{3} + 5 \cdot (- 7)^{2} - 5 \cdot (- 7) + 7 = - 686 + 245 + 35 + 7 = - 399 \neq = 0$

Liczba $- 7$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Wielomian nie ma pierwiastków całkowitych. Szukamy pierwiastków wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 7$

Dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm 2$

Ułamki, których licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik - dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}$

Sprawdzamy, który z powyższych ułamków jest rozwiązaniem tego równania.

Dla $x = \frac{1}{2}$ otrzymujemy:

$2 \cdot (\frac{1}{2})^{3} + 5 \cdot (\frac{1}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{1}{2} + 7 = 2 \cdot \frac{1}{8} + 5 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 7 = 6 \neq = 0$

Liczba $\frac{1}{2}$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - \frac{1}{2}$ otrzymujemy:

$2 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} + 5 \cdot (- \frac{1}{2})^{2} - 5 \cdot (- \frac{1}{2}) + 7 = 2 \cdot (- \frac{1}{8}) + 5 \cdot \frac{1}{4} + \frac{5}{2} + 7 = \frac{21}{2} \neq = 0$

Liczba $- \frac{1}{2}$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = \frac{7}{2}$ otrzymujemy:

$2 \cdot (\frac{7}{2})^{3} + 5 \cdot (\frac{7}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{7}{2} + 7 = 2 \cdot \frac{343}{8} + 5 \cdot \frac{47}{4} - \frac{35}{2} + 7 = 134 \neq = 0$

Liczba $\frac{7}{2}$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - \frac{7}{2}$ otrzymujemy:

$2 \cdot (- \frac{7}{2})^{3} + 5 \cdot (- \frac{7}{2})^{2} - 5 \cdot (- \frac{7}{2}) + 7 = 2 \cdot (- \frac{343}{8}) + 5 \cdot \frac{49}{4} + \frac{35}{2} + 7 = 0$

Liczba $- \frac{7}{2}$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$2$	$5$	$- 5$	$7$
$- \frac{7}{2}$	$2$	$- 2$	$2$	$0$

Mamy więc:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 7 = (x + \frac{7}{2}) (2 x^{2} - 2 x + 2) =$

$= (x + \frac{7}{2}) 2 (x^{2} - x + 1) = 2 (x + \frac{7}{2}) (x^{2} - x + 1)$

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu (o ile istnieją).

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3 < 0$

Zatem:

$x = - \frac{7}{2}$

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$6 \cdot 1^{4} + 5 \cdot 1^{3} + 5 \cdot 1 - 6 = 6 + 5 + 5 - 6 = 10 \neq = 0$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 1$ otrzymujemy:

$6 \cdot (- 1)^{4} + 5 \cdot (- 1)^{3} + 5 \cdot (- 1) - 6 = 6 - 5 - 5 - 6 = - 10 \neq = 0$

Liczba $- 1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = 2$ otrzymujemy:

$6 \cdot 2^{4} + 5 \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2 - 6 = 96 + 40 + 10 - 6 = 140 \neq = 0$

Liczba $2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 2$ otrzymujemy:

$6 \cdot (- 2)^{4} + 5 \cdot (- 2)^{3} + 5 \cdot (- 2) - 6 = 96 - 40 - 10 - 6 = 40 \neq = 0$

Liczba $- 2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = 3$ otrzymujemy:

$6 \cdot 3^{4} + 5 \cdot 3^{3} + 5 \cdot 3 - 6 = 486 + 135 + 15 - 6 = 630 \neq = 0$

Liczba $3$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 3$ otrzymujemy:

$6 \cdot (- 3)^{4} + 5 \cdot (- 3)^{3} + 5 \cdot (- 3) - 6 = - 486 - 135 - 155 - 6 = - 782 \neq = 0$

Liczba $- 3$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = 6$ otrzymujemy:

$6 \cdot 6^{4} + 5 \cdot 6^{3} + 5 \cdot 6 - 6 = 7776 + 1080 + 30 - 6 = 8880 \neq = 0$

Liczba $6$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 6$ otrzymujemy:

$6 \cdot (- 6)^{4} + 5 \cdot (- 6)^{3} + 5 \cdot (- 6) - 6 = 7776 - 1080 - 30 - 6 = 6660 \neq = 0$

Liczba $- 6$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Wielomian nie ma pierwiastków całkowitych. Szukamy pierwiastków wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Ułamki, których licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik - dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{3}{2}$

Sprawdzamy, który z powyższych ułamków jest rozwiązaniem tego równania.

Dla $x = \frac{1}{2}$ otrzymujemy:

$6 \cdot (\frac{1}{2})^{4} + 5 \cdot (\frac{1}{2})^{3} + 5 \cdot \frac{1}{2} - 6 = 6 \cdot \frac{1}{16} + 5 \cdot \frac{1}{8} + \frac{5}{2} - 6 = - \frac{5}{2} \neq = 0$

Liczba $\frac{1}{2}$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - \frac{1}{2}$ otrzymujemy:

$6 \cdot (- \frac{1}{2})^{4} + 5 \cdot (- \frac{1}{2})^{3} + 5 \cdot (- \frac{1}{2}) - 6 = 6 \cdot \frac{1}{16} + 5 \cdot (- \frac{1}{8}) - \frac{5}{2} - 6 = - \frac{35}{4} \neq = 0$

Liczba $- \frac{1}{2}$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = \frac{2}{3}$ otrzymujemy:

$6 \cdot (\frac{2}{3})^{4} + 5 \cdot (\frac{2}{3})^{3} + 5 \cdot \frac{2}{3} - 6 = 6 \cdot \frac{16}{81} + 5 \cdot \frac{8}{27} + \frac{10}{3} - 6 = 0$

Liczba $\frac{2}{3}$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$6$	$5$	$0$	$5$	$- 6$
$\frac{2}{3}$	$6$	$9$	$6$	$9$	$0$

Mamy więc:

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 7 = (x - \frac{2}{3}) (6 x^{3} + 9 x^{2} + 6 x + 9) =$

$= (x - \frac{2}{3}) (6 x^{3} + 6 x + 9 x^{2} + 9) = (x - \frac{2}{3}) [6 x (x^{2} + 1) + 9 (x^{2} + 1)] =$

$= (x - \frac{2}{3}) (6 x + 9) (x^{2} + 1) = (x - \frac{2}{3}) 3 (2 x + 3) (x^{2} + 1) =$

$= 3 (x - \frac{2}{3}) (2 x + 3) (x^{2} + 1)$

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu (o ile istnieją).

$Δ = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 - 4 = - 4 < 0$

Zatem:

$x \in {- \frac{3}{2}, \frac{2}{3}}$

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 3$

Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$4 \cdot 1^{4} - 8 \cdot 1^{3} + 7 \cdot 1^{2} - 8 \cdot 1 + 3 = 4 - 8 + 7 - 8 + 3 = - 2 \neq = 0$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 1$ otrzymujemy:

$4 \cdot (- 1)^{4} - 8 \cdot (- 1)^{3} + 7 \cdot (- 1)^{2} - 8 \cdot (- 1) + 3 = 4 + 8 + 7 + 8 + 3 = 30 \neq = 0$

Liczba $- 1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = 3$ otrzymujemy:

$4 \cdot 3^{4} - 8 \cdot 3^{3} + 7 \cdot 3^{2} - 8 \cdot 3 + 3 = 324 - 216 + 63 - 24 + 3 = 150 \neq = 0$

Liczba $3$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 3$ otrzymujemy:

$4 \cdot (- 3)^{4} - 8 \cdot (- 3)^{3} + 7 \cdot (- 3)^{2} - 8 \cdot (- 3) + 3 = 324 + 216 + 63 + 24 + 3 = 630 \neq = 0$

Liczba $- 3$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Wielomian nie ma pierwiastków całkowitych. Szukamy pierwiastków wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 3$

Dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Ułamki, których licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik - dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{3}{4}$

Sprawdzamy, który z powyższych ułamków jest rozwiązaniem tego równania.

Dla $x = \frac{1}{2}$ otrzymujemy:

$4 \cdot (\frac{1}{2})^{4} - 8 \cdot (\frac{1}{2})^{3} + 7 \cdot (\frac{1}{2})^{2} - 8 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 4 \cdot \frac{1}{16} - 8 \cdot \frac{1}{8} + 7 \cdot \frac{1}{4} - \frac{8}{2} + 3 = 630 \neq = 0$

Liczba $\frac{1}{2}$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$4$	$- 8$	$7$	$- 8$	$3$
$\frac{1}{2}$	$4$	$- 6$	$4$	$- 6$	$0$

Mamy więc:

$4 x^{4} - 8 x^{3} + 7 x^{2} - 8 x + 3 = (x - \frac{1}{2}) (4 x^{3} - 6 x^{2} + 4 x - 6) =$

$= (x - \frac{1}{2}) (4 x^{3} + 4 x - 6 x^{2} - 6) = (x - \frac{1}{2}) [4 x (x^{2} + 1) - 6 (x^{2} + 1)] =$

$= (x - \frac{1}{2}) (4 x - 6) (x^{2} + 1) = 2 (x - \frac{1}{2}) (2 x - 3) (x^{2} + 1)$

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu (o ile istnieją).

$Δ = 0^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 - 4 = - 4 < 0$

Zatem:

$x \in {\frac{1}{2}, \frac{3}{2}}$

Przekształcamy równanie:

$- 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x = x (- 3 x^{3} - 8 x^{2} - 6 x + 3)$

Jednym z pierwiastków wielomianu jest liczba $0$ . Szukamy pozostałych pierwiastków.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 3$

Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$- 3 \cdot 1^{3} - 8 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 + 3 = - 3 - 8 - 6 + 3 = - 14 \neq = 0$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 1$ otrzymujemy:

$- 3 \cdot (- 1)^{3} - 8 \cdot (- 1)^{2} - 6 \cdot (- 1) + 3 = 3 - 8 + 6 + 3 = 4 \neq = 0$

Liczba $- 1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = 3$ otrzymujemy:

$- 3 \cdot 3^{3} - 8 \cdot 3^{2} - 6 \cdot 3 + 3 = - 81 - 72 - 18 + 3 = - 168 \neq = 0$

Liczba $2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 3$ otrzymujemy:

$- 3 \cdot (- 3)^{3} - 8 \cdot (- 3)^{2} - 6 \cdot (- 3) + 3 = 81 - 72 + 18 + 3 = 30 \neq = 0$

Liczba $- 2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Wielomian nie ma pierwiastków całkowitych. Szukamy pierwiastków wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 3$

Dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm 3$

Ułamki, których licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik - dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{3}$

Sprawdzamy, który z powyższych ułamków jest rozwiązaniem tego równania.

Dla $x = \frac{1}{3}$ otrzymujemy:

$- 3 \cdot (\frac{1}{3})^{3} - 8 \cdot (\frac{1}{3})^{2} - 6 \cdot (\frac{1}{3}) + 3 = - 3 \cdot \frac{1}{27} - 8 \cdot \frac{1}{9} - 6 \cdot \frac{1}{3} + 3 = 0$

Liczba $\frac{1}{3}$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$- 3$	$- 8$	$- 6$	$3$
$\frac{1}{3}$	$- 3$	$- 9$	$- 9$	$0$

Mamy więc:

$- 3 x^{4} - 8 x^{3} - 6 x^{2} + 3 x = x (- 3 x^{3} - 8 x^{2} - 6 x + 3) =$

$= x (x - \frac{1}{3}) (- 3 x^{2} - 9 x - 9) = 3 x (x - \frac{1}{3}) (- x^{2} - 3 x - 3) =$

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu (o ile istnieją).

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 3) = 9 - 12 < 0$

Zatem:

$x \in {0, \frac{1}{3}}$

Przekształcamy równanie:

$- 6 x^{5} + 17 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (- 6 x^{3} + 17 x^{2} + 4 x - 3)$

Jednym z pierwiastków wielomianu jest liczba $0$ . Szukamy pozostałych pierwiastków.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 3$

Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$- 6 \cdot 1^{3} + 17 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 - 3 = - 6 + 17 + 4 - 3 = 12 \neq = 0$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 1$ otrzymujemy:

$- 6 \cdot (- 1)^{3} + 17 \cdot (- 1)^{2} + 4 \cdot (- 1) - 3 = 6 + 17 - 4 - 3 = 16 \neq = 0$

Liczba $- 1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = 3$ otrzymujemy:

$- 6 \cdot 3^{3} + 17 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 3 - 3 = - 162 + 153 + 12 - 3 = 0$

Liczba $3$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$- 6$	$17$	$4$	$- 3$
$3$	$- 6$	$- 1$	$1$	$0$

Mamy więc:

$- 6 x^{5} + 17 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} = x^{2} (- 6 x^{3} + 17 x^{2} + 4 x - 3) =$

$= x^{2} (x - 3) (- 6 x^{2} - x + 1)$

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu (o ile istnieją).

$Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 6) \cdot 1 = 1 + 24 = 25$

$x_{1} = \frac{- ( - 1 ) - 25}{2 \cdot ( - 6 )} = \frac{1 - 5}{- 12} = \frac{- 4}{- 12} = \frac{1}{3}$

$x_{2} = \frac{- ( - 1 ) + 25}{2 \cdot ( - 6 )} = \frac{1 + 5}{- 12} = \frac{6}{- 12} = - \frac{1}{2}$

Stąd:

$- 6 x^{5} + 17 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} = - 6 x^{2} (x - 3) (x - \frac{1}{3}) (x + \frac{1}{2})$

Zatem:

$x \in {- \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{3}, 3}$

Przekształcamy równanie:

$12 x^{5} - 16 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} = x (12 x^{4} - 16 x^{3} - x^{2} + 7 x - 2)$

Jednym z pierwiastków wielomianu jest liczba $0$ . Szukamy pozostałych pierwiastków.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 7$

Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$12 \cdot 1^{4} - 16 \cdot 1^{3} - 1^{2} + 7 \cdot 1 - 2 = 12 - 16 - 1 + 7 - 2 = 0$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$12$	$- 16$	$- 1$	$7$	$- 2$
$1$	$12$	$- 4$	$- 5$	$2$	$0$

Mamy więc:

$12 x^{5} - 16 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} = x (12 x^{4} - 16 x^{3} - x^{2} + 7 x - 2) =$

$= x (x - 1) (12 x^{3} - 4 x^{2} - 5 x + 2)$

Szukamy pierwiastków wielomianu $12 x^{3} - 4 x^{2} - 5 x + 2$ . Najpierw sprawdzimy, czy wielomian ma pierwiastki całkowite.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 2$

Dla $x = 1$ otrzymujemy:

$12 \cdot 1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 + 2 = 12 - 4 - 5 + 2 = 5 \neq = 0$

Liczba $1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 1$ otrzymujemy:

$12 \cdot (- 1)^{3} - 4 \cdot (- 1)^{2} - 5 \cdot (- 1) + 2 = - 12 - 4 + 5 + 2 = - 9 \neq = 0$

Liczba $- 1$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = 2$ otrzymujemy:

$12 \cdot 2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 2 = 12 \cdot 8 - 4 \cdot 4 - 10 + 2 = 72 \neq = 0$

Liczba $2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Dla $x = - 2$ otrzymujemy:

$12 \cdot (- 2)^{3} - 4 \cdot (- 2)^{2} - 5 \cdot (- 2) + 2 = 12 \cdot (- 8) - 4 \cdot 4 + 10 + 2 = - 100 \neq = 0$

Liczba $- 2$ nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Wielomian nie ma pierwiastków całkowitych. Szukamy pierwiastków wymiernych.

Dzielniki wyrazu wolnego:

$\pm 1, \pm 2$

Dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Ułamki, których licznik jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a mianownik - dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze:

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{6}, \pm \frac{1}{12}, \pm \frac{2}{3}$

Sprawdzamy, który z powyższych ułamków jest rozwiązaniem tego równania.

Dla $x = \frac{1}{2}$ otrzymujemy:

$12 \cdot (\frac{1}{2})^{3} - 4 \cdot (\frac{1}{2})^{2} - 5 \cdot \frac{1}{2} + 2 = - 96 - 16 + 10 + 2 = 0$

Liczba $\frac{1}{2}$ jest pierwiastkiem wielomianu.

Wykonujemy dzielenie, stosując schemat Hornera.

	$12$	$- 4$	$- 5$	$2$
$\frac{1}{2}$	$12$	$2$	$- 4$	$0$

Mamy więc:

$12 x^{5} - 16 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} = x (x - 1) (12 x^{3} - 4 x^{2} - 5 x + 2) =$

$= x (x - 1) (x - \frac{1}{2}) (12 x^{2} + 2 x - 4) = 2 x (x - 1) (x - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + 1 x - 2)$

Wyznaczamy pozostałe pierwiastki wielomianu (o ile istnieją).

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (- 2) = 1 + 48 = 49$

$x_{1} = \frac{- 1 - 49}{2 \cdot 6} = \frac{- 1 - 7}{12} = \frac{- 8}{12} = - \frac{2}{3}$

$x_{2} = \frac{- 1 + 49}{2 \cdot 6} = \frac{- 1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = - \frac{1}{2}$

Stąd:

$12 x^{5} - 16 x^{4} + 4 x^{3} - 3 x^{2} = 2 x (x - 1) (x - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + 1 x - 2) =$

$= 2 x (x - 1) (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{2}{3}) (x - \frac{1}{2}) = 2 x (x - 1) (x - \frac{1}{2})^{2} (x + \frac{2}{3})$

Zatem:

$x \in {- \frac{2}{3}, 0, \frac{1}{2}, 1}$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.